Zadanie nr 3693244
Dany jest okrąg . Przez punkt
poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
oraz
. Przez punkt
leżący na odcinku
poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie
, która przecięła odcinek
w punkcie
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli oraz
, to trójkąt
nie jest równoramienny.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu kilkukrotnie skorzystamy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu mają równą długość. Taką sytuację mamy np. na danym rysunku w przypadku odcinków ,
i
. Żeby się nie pogubić oznaczmy
![BD = BP = x](https://img.zadania.info/zad/3693244/HzadR3x.png)
i przy pomocy tego odcinka spróbujemy obliczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na rysunku.
Z treści zadania wiemy, że
![AP = AQ = 6BP = 6x ⇒ AB = AP − BP = 5x .](https://img.zadania.info/zad/3693244/HzadR5x.png)
Ponadto,
![CQ = CD = 3BD = 3x ⇒ AC = AQ − CQ = 6x − 3x = 3x.](https://img.zadania.info/zad/3693244/HzadR6x.png)
Udało nam się w tym momencie obliczyć długości wszystkich boków trójkąta i faktycznie żadne dwa jego boki nie mają tej samej długości.
![AB = 5x AC = 3x BC = CD + BD = 3x + x = 4x.](https://img.zadania.info/zad/3693244/HzadR8x.png)