/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 3693244

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wykaż, że jeżeli |AQ | = 6 ⋅|BP | oraz |CD | = 3 ⋅|BD | , to trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

W rozwiązaniu kilkukrotnie skorzystamy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu mają równą długość. Taką sytuację mamy np. na danym rysunku w przypadku odcinków AP = AQ , CQ = CD i BP = BD . Żeby się nie pogubić oznaczmy

BD = BP = x

i przy pomocy tego odcinka spróbujemy obliczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na rysunku.


ZINFO-FIGURE


Z treści zadania wiemy, że

AP = AQ = 6BP = 6x ⇒ AB = AP − BP = 5x .

Ponadto,

CQ = CD = 3BD = 3x ⇒ AC = AQ − CQ = 6x − 3x = 3x.

Udało nam się w tym momencie obliczyć długości wszystkich boków trójkąta ABC i faktycznie żadne dwa jego boki nie mają tej samej długości.

AB = 5x AC = 3x BC = CD + BD = 3x + x = 4x.
Wersja PDF
spinner