Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6385719

Na okręgu o promieniu r wybrano punkty M i N w ten sposób, że proste AM i AN są styczne do okręgu. Punkt B jest punktem wspólnym odcinka MN i prostej łączącej A ze środkiem S tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Połączmy środek okręgu S z punktem M .


PIC


Styczna jest prostopadła do promienia okręgu, więc trójkąt ASM jest prostokątny. Ponadto prosta MN jest prostopadła do AS (bo np. AS jest to dwusieczną w trójkącie równoramiennym MAN ), więc odcinek MB jest wysokością trójkąta ASM .

Zauważmy teraz, że trójkąty ASM i MSB są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry ∡BSM ). W takim razie

SA--= SM-- ⇒ SA ⋅SB = SM 2 = r2. SM SB
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!