/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 9508382

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami B i C ma długość większą niż 120%a .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy cały okrąg opisany na trójkącie ABC .

PIC

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a jest równy

√ -- √ -- 2- a--3- a--3- r = 3 ⋅ 2 = 3 ,

a interesujący nas łuk, to 1 3 tego okręgu. Zatem długość tego łuku jest równa

√ -- √ -- 1 1 a 3 2πa 3 --⋅2πr = --⋅2 π ⋅-----= -------. 3 3 3 9

Pozostało wykazać, że liczba ta jest większa od

6- 120%a = 5 a.

Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.

√ -- 2πa 3 6 9 --------> -a / ⋅ --√--- 9 5 2a√ -3 -27-- 9--3- π > √ --= 5 . 5 3

Łatwo teraz sprawdzić na kalkulatorze, że √- 9-3- 5 < 3 ,1 2 , a jednocześnie π > 3,14 . To oznacza, że otrzymana nierówność jest spełniona. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność przy pomocy równoważności, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

Wersja PDF