Zadanie nr 9508382
Trójkąt jest trójkątem równobocznym o boku długości
. Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami
i
ma długość większą niż
.
Rozwiązanie
Dorysujmy cały okrąg opisany na trójkącie .
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku jest równy

a interesujący nas łuk, to tego okręgu. Zatem długość tego łuku jest równa

Pozostało wykazać, że liczba ta jest większa od

Przekształcamy nierówność, którą mamy udowodnić w sposób równoważny.

Łatwo teraz sprawdzić na kalkulatorze, że , a jednocześnie
. To oznacza, że otrzymana nierówność jest spełniona. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność przy pomocy równoważności, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.