Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9768882

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od dorysowania, wszystkiego co się da.


PIC


Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny CKB . Mamy w nim

CK = BK = R √ -- CB = CA + AD + DB = r 2 + r + R .

Wystarczy teraz napisać twierdzenie Pitagorasa, lub jeszcze prościej, zauważyć, że  √ -- CB = CK 2 (przekątna w kwadracie CKBL ). Mamy więc

 √ -- CB = CK 2 √ -- √ -- r 2+ r+ R = R 2 √ -- √ -- r( 2+√ -1) = R ( √2−-1 ) R 2 + 1 ( 2 + 1)2 √ -- --= √-------= -----------= 3 + 2 2. r 2 − 1 2 − 1

Sposób II

Tym razem popatrzmy na trójkąt prostokątny ASB . Jego boki mają długości AS = BS = R − r oraz AB = R + r . Możemy napisać w nim twierdzenie Pitagorasa, albo lepiej zauważyć, że jest to połówka kwadratu, czyli

 √ -- AB = AS 2 √ -- R + r = (R − r) 2 √ -- √ -- r(1+ √ -2) = R ( √2−-1 ) R 2 + 1 ( 2 + 1)2 √ -- --= √-------= -----------= 3 + 2 2. r 2 − 1 2 − 1
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!