/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 9768882

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od dorysowania, wszystkiego co się da.

PIC

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny CKB . Mamy w nim

CK = BK = R √ -- CB = CA + AD + DB = r 2 + r + R .

Wystarczy teraz napisać twierdzenie Pitagorasa, lub jeszcze prościej, zauważyć, że √ -- CB = CK 2 (przekątna w kwadracie CKBL ). Mamy więc

√ -- CB = CK 2 √ -- √ -- r 2+ r+ R = R 2 √ -- √ -- r( 2+√ -1) = R ( √2−-1 ) R 2 + 1 ( 2 + 1)2 √ -- --= √-------= -----------= 3 + 2 2. r 2 − 1 2 − 1

Sposób II

Tym razem popatrzmy na trójkąt prostokątny ASB . Jego boki mają długości AS = BS = R − r oraz AB = R + r . Możemy napisać w nim twierdzenie Pitagorasa, albo lepiej zauważyć, że jest to połówka kwadratu, czyli

√ -- AB = AS 2 √ -- R + r = (R − r) 2 √ -- √ -- r(1+ √ -2) = R ( √2−-1 ) R 2 + 1 ( 2 + 1)2 √ -- --= √-------= -----------= 3 + 2 2. r 2 − 1 2 − 1
Wersja PDF