Zadanie nr 6492001

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie . Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie . Oznaczmy przez A 1 i punkty przecięcia prostych i z mniejszym okręgiem. Udowodnić, że

prosta jest równoległa do prostej ;
prosta jest dwusieczną kąta .

Rozwiązanie

Dorysujmy wspólną styczną obu okręgów i oznaczmy .

W takim razie patrząc na mniejszy okrąg i korzystając z twierdzenia o stycznej i siecznej, otrzymujemy

$∡MA 1B 1 = α.$

Jeżeli natomiast popatrzymy na cięciwę większego okręgu to

$∡MAB = α.$

To oznacza, że proste i przecinają prostą pod tym samym kątem, czyli są równoległe.
Teraz oznaczmy . W takim razie (bo są oparte na tym samym łuku). Teraz korzystamy z poprzedniego podpunktu, czyli z tego, że proste i są równoległe. Mamy stąd
$∡A NA = B A N = β. 1 1 1$

Teraz ponownie korzystamy z twierdzenia o stycznej i siecznej i mamy

$∡A 1MN = A 1NA = β .$

Zatem istotnie prosta jest dwusieczną kąta .