/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Zadanie nr 8459063

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

W rozwiązaniu kilkukrotnie skorzystamy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu mają równą długość. Taką sytuację mamy np. na danym rysunku w przypadku odcinków AP = AQ , CQ = CD i BP = BD . Żeby się nie pogubić oznaczmy

BD = BP = x

i przy pomocy tego odcinka spróbujemy obliczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na rysunku.

ZINFO-FIGURE

Z treści zadania wiemy, że

AP = AQ = 5BP = 5x ⇒ AB = AP − BP = 4x .

Ponadto,

CQ = CD = 2BD = 2x ⇒ AC = AQ − CQ = 5x − 2x = 3x.

Udało nam się w tym momencie obliczyć długości wszystkich boków trójkąta ABC i faktycznie jest on równoramienny

AC = 3x = 2x + x = CD + BD = BC .
Wersja PDF