/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 5266395

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A ,B ,C,D i O są współliniowe).

PIC

Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i R są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty POB i DOR są przystające. Rzeczywiście, mamy OB = OR , OP = OD oraz boki te tworzą wspólny kąt ∡BOP = ∡ROD .

Podobnie uzasadniamy, że przystające są trójkąty P OA i COR .

Mamy więc

∡CRD = ∡CRO + ∡DRO = ∡PAO + ∡P BO = 180 ∘ − ∡AP B .

W ostatniej równości skorzystaliśmy z sumy kątów w trójkącie ABP .

Wersja PDF