/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 9467250

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta DB jest styczna do okręgu w punkcie B . Oblicz miarę zaznaczonego kąta ∡ABD jeśli ∡ACB = α .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy promienie OA i OB .

PIC

Jeżeli kąt α jest ostry (lewy rysunek), to ∡AOB = 2α (kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kat wpisany ∡ACB ). Zatem

180∘ −-2α- ∘ ∡ABO = 2 = 90 − α.

Promień OB jest prostopadły do stycznej DB , czyli

∡DBA = 90∘ − ∡ABO = α.

Podobnie liczymy, gdy kąt α jest rozwarty (prawy rysunek). Wtedy kąt wklęsły ∡AOB ma miarę 2α , czyli kąt wypukły ∡AOB ma miarę 360 ∘ − 2 α . To oznacza, że

180∘ − (360 ∘ − 2 α) ∡ABO = ------------------- = α − 90 ∘. 2

W takim razie

∡DBA = ∡DBO + ∡ABO = 90∘ + α− 90∘ = α .

 
Odpowiedź: α

Wersja PDF