/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Zadanie nr 9900597

Średnica AB i cięciwa CD okręgu o środku O i promieniu r przecinają się w punkcie E takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy promień OD i oznaczmy ∡AEC = α .

PIC

Z założenia trójkąt ODE jest równoramienny, więc

∡DOE = α ∡ODE = 180∘ − 2α .

Trójkąt COD również jest równoramienny, więc

∡OCD = ∡ODC = 180∘ − (180∘ − 2α ) = 2α.

Stąd

∘ ∘ ∘ ∡AOC = 180 − ∡COD − ∡DOE = 180 − (18 0 − 4α)− α = 3α .
Wersja PDF