/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Okręgi opisane

Zadanie nr 3455319

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AB i BC trójkąta ostrokątnego ABC opisano, jako na średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przecięcia się tych okręgów (różny od punktu B)?

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że jeżeli D jest punktem wspólnym okręgu o średnicy AB i boku AC (punkt taki istnieje, bo trójkąt jest ostrokątny), to ∡BDA = 90∘ . Zatem D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka B na bok AC . Dokładnie taką samą własność ma punkt przecięcia się okręgu opisanego na boku BC i boku AC . Zatem punkt D , czyli spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka B , jest punktem wspólnym obu okręgów.

Wersja PDF