Na bokach AB i BC trójkąta ostrokątnego ABC opisano, jako na... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Okręgi opisane, 3455319

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Okręgi opisane

Zadanie nr 3455319

Na bokach $AB$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ opisano, jako na średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przecięcia się tych okręgów (różny od punktu B)?

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Zauważmy, że jeżeli $D$ jest punktem wspólnym okręgu o średnicy $AB$ i boku $AC$ (punkt taki istnieje, bo trójkąt jest ostrokątny), to $∡BDA = 90∘$ . Zatem $D$ jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ na bok $AC$ . Dokładnie taką samą własność ma punkt przecięcia się okręgu opisanego na boku $BC$ i boku $AC$ . Zatem punkt $D$ , czyli spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ , jest punktem wspólnym obu okręgów.