/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Równoległobok

Zadanie nr 2906438

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = x+ b , y = x + 2b , y = b , y = 2 , gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunki: b ⁄= 2 i b ⁄= 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru b , dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zadanie nie jest specjalnie trudne, ale trzeba uważać, żeby nie przegapić różnych możliwych konfiguracji. Jeżeli zaczniemy szkicować opisaną sytuację, to można zauważyć, że są co najmniej trzy różne konfiguracje w zależności od tego, czy b > 2 , b ∈ (0 ,2) , czy też b < 0 .

PIC

Spróbujmy obliczyć pole równoległoboku ograniczonego przez dane proste w sposób niezależny od żadnej konkretnej konfiguracji. Niech A = (xA ,2) i B = (x ,2) B będą punktami wspólnymi prostej y = 2 oraz odpowiednio prostych y = x + 2b i y = x+ b . Wtedy AB jest podstawą równoległoboku zawartą w prostej y = 2 . Ponadto

2 = xA + 2b ⇒ xA = 2 − 2b 2 = xB + b ⇒ xB = 2 − b.

Odcinek AB ma więc długość

a = |xB − xA | = |2 − b − (2 − 2b)| = |b|.

Wysokość h równoległoboku, to odległość między poziomymi prostymi y = 2 i y = b , więc

h = |b − 2|.

Pozostało więc rozwiązać równie

1 = ah = |b|⋅|b− 2| = |b (b− 2 )|.

Mamy teraz dwa przypadki. Jeżeli b < 0 lub b > 2 , to wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie i mamy równanie

1 = b(b − 2) 0 = b2 − 2b − 1 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- b = 2-−-2--2-= 1− 2 lub b = 2-+-2---2 = 1 + 2. 2 2

Obie otrzymane wartości spełniają warunek: b ∈ (− ∞ ,0)∪ (2,+ ∞ ) .

Jeżeli natomiast b ∈ (0,1) , to musimy rozwiązać równanie

1 = −b (b − 2) b2 − 2b+ 1 = 0 (b− 1)2 = 0.

Stąd b = 1 .  
Odpowiedź: { } √ -- √ -- b ∈ 1− 2,1,1 + 2

Wersja PDF