Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5094905

Boki AB i DA równoległoboku ABCD są zawarte odpowiednio w prostych o równaniach y = − 15x + 5 i y = − 7x + 39 . Napisz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego równoległoboku, jeżeli jego środek ma współrzędne  ( 1 3) S = 2,2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy równoległobok z przekątnymi (nasz rysunek jest dość dokładny, ale do rozwiązania wystarczy zwykły schematyczny szkic równoległoboku – nie musi być nawet w układzie współrzędnych).


PIC


Rozpoczynamy od wyznaczenia punktu A – jest to punkt wspólny dwóch podanych prostych.

{ y = − 15x + 5 y = − 7x + 39.

Porównujemy y -ki i mamy

 1 − -x + 5 = − 7x + 39 / ⋅5 5 − x + 2 5 = − 35x + 195 34x = 1 70 ⇒ x = 5 .

Stąd y = − 7x + 3 9 = 4 i A = (5,4) .

Teraz wyznaczymy współrzędne wierzchołka C = (xC ,yC ) – punkt S jest środkiem odcinka AC , więc

 ( ) S = A--+-C-= 5-+-xC-, 4+-yC- 2 2 2 { 1 5+xC 2 = -2--- ⇒ xC = − 4 3 = 4+yC- ⇒ yC = − 1. 2 2

Zatem C = (− 4,− 1) . Aby wyznaczyć współrzędne punktu B piszemy równanie prostej BC . Prosta ta jest równoległa do DA , więc ma równanie postaci y = − 7x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

− 1 = 2 8+ b ⇒ b = − 29.

Prosta BC ma więc równanie y = − 7x − 29 . Wyznaczamy teraz jej punkt wspólny B z prostą AB .

{ y = − 7x − 2 9 1 y = − 5 x+ 5

Porównujemy y -ki i mamy

 1- − 7x − 2 9 = − 5x + 5 / ⋅5 − 35x − 145 = −x + 25 − 170 = 34x ⇒ x = − 5.

Stąd y = − 7x − 2 9 = 6 i B = (−5 ,6) . Pozostało teraz napisać równanie prostej BS (czyli przekątnej BD ). Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i S .

{ 6 = − 5a + b 3 1 2 = 2a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

3 1 --− 6 = -a + 5a 2 2 9- 11- 9-- − 2 = 2 a ⇒ a = − 11

Stąd

b = 6 + 5a = 6 − 45-= 21- 11 11

i przekątna BD ma równanie y = − 191x + 2111 .  
Odpowiedź: y = − 9-x+ 21 11 11

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!