/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Równoległobok

Zadanie nr 8428712

Punkt A (4,− 10) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach y = 3x − 2 i y = −x + 6 . Wyznacz pozostałe wierzchołki równoległoboku.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od schematycznego rysunku.

PIC

Od ręki możemy wyliczyć współrzędne punktu C – wystarczy znaleźć punkt wspólny podanych prostych. Od razu porównujemy y -ki.

3x − 2 = −x + 6 ⇒ x = 2.

Stąd C = (2,4) .

Aby wyznaczyć wpółrzędne pozostałych wierzchołków napiszemy równania prostych AD i AB .

Prosta AD jest równoległa do prostej y = −x + 6 , jest zatem postaci y = −x + b . Ponieważ przechodzi przez punkt a to

− 10 = − 4 + b ⇒ b = −6 .

Podobnie, prosta AB jest postaci y = 3x+ b′ oraz

− 10 = 12 + b ′ ⇒ b′ = − 22.

Szukamy punktu B , czyli punktu wspólnego prostych AB i BC (porównujemy y -ki).

3x − 22 = −x + 6 ⇒ x = 7.

Zatem B = (7,− 1) . Podobnie, przecinamy proste AD i DC .

−x − 6 = 3x − 2 ⇒ x = − 1.

Zatem D = (− 1,− 5) .  
Odpowiedź: B = (7,− 1) , C = (2,4) , D = (− 1,− 5)

Wersja PDF