Zadanie nr 9070956
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: ,
,
,
, gdzie
i
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których iloczyn długości dwóch wysokości tego równoległoboku, które nie są równoległe, jest równy
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Zauważmy, że łatwo jest wyznaczyć współrzędne jednego z wierzchołków, powiedzmy , danego równoległoboku – znajdźmy punkt wspólny prostych
i
.

Stąd

i .
Obliczamy najpierw odległość tego punktu od prostej :
:

Teraz obliczamy odległość punktu od prostej
:
.

Pozostało teraz rozwiązać równanie

Jeżeli , to mamy równanie

Jeżeli natomiast , to mamy równanie

Łatwo sprawdzić, że oba te rozwiązania spełniają warunek . W sumie są więc cztery wartości parametru
spełniające warunki zadania:

Odpowiedź: