/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Równoległobok

Zadanie nr 9070956

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = 12x + m , y = 12x + 2m , y = −x − 1 , y = −x + m − 3 , gdzie m ⁄= 0 i m ⁄= 2 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których iloczyn długości dwóch wysokości tego równoległoboku, które nie są równoległe, jest równy √10 15-- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Zauważmy, że łatwo jest wyznaczyć współrzędne jednego z wierzchołków, powiedzmy A , danego równoległoboku – znajdźmy punkt wspólny prostych y = 1x + m 2 i y = −x + m − 3 .

1- 3- 2x + m = y = −x + m − 3 ⇐ ⇒ 2x = − 3 ⇐ ⇒ x = − 2.

Stąd

y = −x + m − 3 = 2 + m − 3 = m − 1

i A = (− 2,m − 1) .

Obliczamy najpierw odległość tego punktu od prostej BC : y + x + 1 = 0 :

h = |(m--−√1)-−-2-+-1|-= |m√−--2| 1 1+ 1 2

Teraz obliczamy odległość punktu A od prostej CD : y − 12x− 2m = 0 .

|(m-−∘1)-+-1-−-2m-| |m-−√-2m-| 2|√m-| h2 = 1 = -5- = 5 1+ 4 2

Pozostało teraz rozwiązać równanie

√ --- √ --- 1 0 |m − 2| 2|m | 10 ----- = h1h2 = --√-----⋅-√--- / ⋅----- 15 2 5 2 10- 1- |m (m − 2)| = 30 = 3 .

Jeżeli m ∈ (−∞ ,0 )∪ (2,+ ∞ ) , to mamy równanie

m (m − 2) = 1- 3 2 1- m − 2m − 3 = 0 ( ) ( √ --) 2 4- 16- -4-- 2 4--3- Δ = 4 + 3 = 3 = √ -- = 3 √- 3 √- 2− 4-3- √ -- 2+ 4-3- √ -- m = -----3--= 3-−-2--3-< 0 lub m = -----3--= 3-+-2--3-> 2. 2 3 2 3

Jeżeli natomiast m ∈ (0,2) , to mamy równanie

1 m (m − 2) = − -- 3 m 2 − 2m + 1-= 0 3 ( √ --) 2 ( √ -) 2 Δ = 4− 4-= 8-= 2√-2- = 2--6- 3 3 3 3 √ - √ -- √- √ -- 2 − 23-6 3 − 6 2+ 236- 3 − 6 m = -------- = -------- lub m = --------= -------. 2 3 2 3

Łatwo sprawdzić, że oba te rozwiązania spełniają warunek m ∈ (0,2) . W sumie są więc cztery wartości parametru m spełniające warunki zadania:

{ √ -- √ -- √ -- √ -} m ∈ 3−--2--3, 3+-2---3, 3-−--6-, 3+---6- 3 3 3 3

 
Odpowiedź: { 3−2√3- 3+-2√3- 3−-√6- 3+-√6-} m ∈ 3 , 3 , 3 , 3

Wersja PDF