Zadanie nr 1837133
Wykaż, że jeżeli w czworokącie dwusieczne kątów przy wierzchołkach
i
przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach
i
w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Oznaczymy kąty czworokąta przez . Patrząc na trójkąty
i
łatwo wyliczamy kąty czworokąta
![∘ ∡K = 1 80 − (α+ δ) ∡L = 18 0∘ − (γ + δ) ∘ ∡M = 180 − (β + γ) ∡N = 180∘ − (α + β).](https://img.zadania.info/zad/1837133/HzadR5x.gif)
Z równości tych łatwo zobaczyć, że
![∡K + ∡M = ∡L + ∡N .](https://img.zadania.info/zad/1837133/HzadR6x.gif)
I to koniec, bo równość sum miar przeciwległych kątów to warunek wystarczający na to, aby na czworokącie dało się opisać okrąg.