Zadanie nr 1982705

Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 28 oraz suma ich odwrotności jest równa 176 .

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukane wyrazy przez 2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

28 28 = a + aq + aq2 = a(1+ q+ q 2) ⇒ 1+ q+ q2 = ---. a

Napiszmy teraz warunek z sumą odwrotności.

7 1 1 1 q2 + q + 1 28 ---= --+ ---+ --2-= -----2----= -a2-. 16 a aq aq aq aq -7- -2-8-- 16 = (aq)2 (aq)2 = 16-⋅2 8 = 64. 7

Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, otrzymujemy stąd aq = 8 . Uwzględniając to w pierwszym równaniu mamy

1 64 28 = a + aq + aq2 = a+ aq+ --⋅(aq)2 = a + 8 + --- / ⋅a 2 a a 28a = a + 8a + 64 2 0 = a − 20a + 64 Δ = 400 − 256 = 1 44 = 122 a = 2-0−-1-2 = 4 ∨ a = 20-+-12-= 16. 2 2

Daje to odpowiednio 8 q = a = 2 i 8 1 q = a = 2 . Są zatem dwa takie ciągi

(4,8,16), (16,8,4)

Sposób II

Rachunki można odrobinę skrócić, jeżeli oznaczymy szukane liczby przez a q,a,aq . Otrzymujemy wtedy równania

( ( ) { 28 = aq + a+ aq = a 1q + 1 + q 7 q 1 1 1 ( 1) ( 16 = a + a + aq = a q + 1 + q .

Dzieląc pierwsze równanie przez drugie mamy

16 28 ⋅---= a2 7 2 64 = a .

Stąd a = 8 i pierwsze równanie przyjmuje postać

( ) 28 = 8 1-+ 1+ q / ⋅ q- q 4 2 7q = 2 + 2q + 2q 0 = 2q2 − 5q + 2 Δ = 25− 16 = 9 5 − 3 1 5 + 3 q = ------= -- ∨ q = ------= 2 . 4 2 4

Tak jak poprzednio daje to nam dwa ciągi:

(4 ,8,16), (1 6,8,4).

Odpowiedź: (4,8,16 ),(1 6,8,4)