Zadanie nr 2139227

Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ze sobą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Rozwiązanie

Jeżeli α < β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to ∘ α + β = 90 .

Zatem

sin β = sin(9 0∘ − α ) = cos α.

Wiemy więc, że liczby o których mowa, to sin α,cos α,1 . Musimy jeszcze ustalić w jakiej kolejności tworzą one ciąg geometryczny. Na pewno jedynka to największy z wyrazów (bo sinx < 1 dla kąta ostrego ). Ponadto sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych, więc z naszego założenia α < β mamy

sin α < sin β = cos α.

Zatem ciąg geometryczny, o którym mowa w treści zadania, to (sin α,cos α,1) . W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc mamy równanie