/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny

Zadanie nr 2171520

W ciągu geometrycznym (a1,a2,a3,a4,a5,a6) suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 182, a stosunek sumy wyrazów o numerach nieparzystych do sumy wyrazów o numerach parzystych jest równy 13 . Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy kolejne wyrazy szukanego ciągu przez 2 a1,a1q,a2q ,... , to mamy

182 = a1 + a3 + a5 = a 1 + a1q2 + a1q4 = a1(1+ q2 + q 4).

Zauważmy, że wyrażenie to niewiele różni się sumy wyrazów parzystych:

a 2 + a4 + a6 = a1q + a1q 3 + a1q5 = q⋅a1(1 + q2 + q4) = 1 82q.

Wiemy ponadto, że

1 a1 + a3 + a5 182 1 --= ------------ = ----- = -- ⇒ q = 3. 3 a2 + a4 + a6 18 2q q

Stąd

2 4 182 = a1(1+ q + q ) = 91a1 ⇒ a1 = 2.

Zatem

(a1,a2,a3,a4,a5,a6) = (2,6,18,54,16 2,486).

 
Odpowiedź: (2,6,1 8,54,162,48 6)

Wersja PDF