Zadanie nr 4802711

Wyznacz wszystkie wartości , gdzie α ⁄= kπ , k ∈ C , dla których trzy liczby ctg α , sin α , 16 co sα , tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności).

Rozwiązanie

Trzy niezerowe liczby a,b i tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy gdy b2 = ac . Mamy zatem równanie

sin2α = ctgα ⋅ 1-cos α 6 2 cos-α 1- sin α = sin α ⋅6 cosα / ⋅6 sin α 3 2 6sin α = cos α 6sin3 α = 1 − sin2α .

Podstawiamy teraz t = sinα i otrzymujemy równanie wielomianowe

6t3 + t2 − 1 = 0 .

Jak zwykle szukamy pierwiastków wymiernych tego równania. Szukamy wśród liczb postaci p q , gdzie dzieli -1, a dzieli 6. Szukamy zatem wśród liczb

−1 ,1,− 1, 1-,− 1, 1-,− 1, 1-. 2 2 3 3 6 6

Jak zaczniemy to sprawdzać, to okaże się, że 1 t = 2 jest pierwiastkiem. Dzielimy teraz dany wielomian przez (t− 12) . My, jak zwykle, zrobimy to grupując wyrazy.