Zadanie nr 6623498

Funkcje 2 f(x) = − 2x − 2 , 2 2 g(x) = x + 2ax+ a + 1 i 2 2 h(x) = 4x + b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej , liczby f(x) , g (x) i h(x) tworzą (w pewnej kolejności) ciąg geometryczny. Wyznacz możliwe ilorazy tego ciągu.

Rozwiązanie

Pierwszą rzeczą którą musimy zrobić, to ustalić w jakiej kolejności liczby te mogą tworzyć ciąg geometryczny. Sprawdzając , widzimy, że f(x) < 0 , g (x ) > 0 i h(x) > 0 dla dowolnego . Jeżeli liczby te mają tworzyć ciąg geometryczny, to musi być q < 0 i f (x) musi być środkowym wyrazem. Mamy zatem

(f(x))2 = g(x)h(x ) (− 2x2 − 2)2 = (x 2 + 2ax + a2 + 1 )(4x2 + b2) 4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 4x + 8x + 4 = 4x + 8ax + (b + 4a + 4)x + 2ab x + b (a + 1).

Mamy stąd układ równań

( | 8a = 0 ||{ 2 2 b + 4a + 4 = 8 || 2ab2 = 0 |( 2 2 b (a + 1) = 4.

Z tego układu otrzymujemy a = 0 i 2 b = 4 . Zatem podane funkcje to f (x) = − 2x2 − 2 , g (x) = x2 + 1 i h(x ) = 4x2 + 4 . Iloraz ciągu utworzonego przez te liczby to − 2 lub − 1 2 (zależy od tego czy ustawimy je w kolejności g (x ),f(x),h(x ) czy h (x ),f(x),g(x ) ).
Odpowiedź: -2 lub 1 − 2