/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny

Zadanie nr 9428758

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (an ) , gdzie n ≥ 1 , jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wyznacz największą wartość funkcji f (x) = 2xa 6a2 − a 4a3x2 − a3a6 .

Rozwiązanie

Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

a = a q 2 1 a3 = a1q2 3 a4 = a1q a = a q5. 6 1

Korzystając z tych równości możemy wzór danej funkcji zapisać w postaci

5 3 2 2 2 5 2 5 2 2 6 2 7 f(x) = 2x⋅a1q ⋅a1q− a 1q ⋅a1q x − a1q ⋅a1q = −a 1q x + 2a 1q x− a 1q .

Sposób I

Funkcja f (x) jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół (tu korzystamy z tego, że ciąg jest rosnący!), więc przyjmuje wartość największą w wierzchołku. Sprawdźmy jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka.

− 2a2q6 xw = −b-= ----1---= q. 2a − 2a21q5

Zatem wartość największa jest równa

2 5 2 2 6 2 7 2 7 2 7 2 7 f(q) = −a 1q ⋅q + 2a1q ⋅q− a1q = −a 1q + 2a1q − a1q = 0.

Sposób II

Zauważmy, że

2 5 2 2 6 2 7 2 5 2 2 2 5 2 f(x) = −a 1q x + 2a 1q x− a1q = −a 1q (x − 2xq + q ) = −a 1q (x− q ) .

Ponieważ z założenia q > 0 , więc największą możliwą wartością powyższego wyrażenia jest

f (q) = 0.

 
Odpowiedź: fmax = 0

Wersja PDF