/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny

Zadanie nr 9653862

Wyrazy ciągu geometrycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , spełniają układ równań

{ a2 + a7 = 2 904 a + a = − 8 712 3 8

Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma Sn jest równa 177148.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu an , to

{ 6 5 29 04 = a2 + a7 = a1q + a1q = a 1q(1+ q ) − 87 12 = a3 + a8 = a1q2 + a1q7 = a1q2(1 + q5).

Dzielimy drugie równanie przez pierwsze i mamy

a1q2(1+ q5) 87 12 q = ---------5---= − ----- = − 3. a1q(1 + q ) 29 04

Z pierwszego równania mamy więc

29 04 2904 968 a1 = -------5--= -------------= ----= 4. q(1 + q ) − 3(1− 243) 242

Pozostało teraz rozwiązać równanie

n n 177 148 = Sn = a1 ⋅ 1−-q--= 4 ⋅ 1-−-(−-3)-= 1− (− 3)n 1 − q 4 (− 3)n = − 177 147 = − 311 = (− 3)11.

Stąd n = 1 1 .  
Odpowiedź: n = 11

Wersja PDF