/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 1435269

W okrąg o promieniu 17√-2- 2 wpisano czworokąt ABCD tak, że  ∘ |∡ABC | = 90 oraz |AD | : |CD | = 7 : 2 3 . Oblicz obwód czworokąta ABCD jeżeli jego pole jest równe 192.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


ZINFO-FIGURE


Wiemy, że ∡ABC = 90∘ , więc AC jest średnicą okręgu. W szczególności

 √ -- 17---2 √ -- AC = 2 ⋅ 2 = 17 2 .

To oznacza, że ∡ADC = 90∘ . Oznaczmy AD = 7x i CD = 23x i napiszmy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACD .

AC 2 = AD 2 + CD 2 578 = 49x2 + 529x 2 = 578x 2 ⇒ x = 1.

Stąd AD = 7x = 7 , CD = 23x = 23 i

P = 1-⋅AD ⋅CD = 161- ACD 2 2 161 223 PABC = 192 − -2--= -2--.

Jeżeli teraz oznaczymy AB = a i BC = b , to w trójkącie ABC mamy

{ 2 2 2 a + b = AC = 578 12ab = PABC = 2223 { (a + b)2 − 2ab = 578 ab = 223.

Stąd

(a+ b)2 = 578 + 2ab = 578 + 446 = 1024 = 32 2.

Zatem a+ b = 32 i obwód czworokąta ABCD jet równy

AD + CD + a+ b = 7+ 23+ 32 = 62 .

 
Odpowiedź: 62

Wersja PDF
spinner