Zadanie nr 1435269
W okrąg o promieniu wpisano czworokąt
tak, że
oraz
. Oblicz obwód czworokąta
jeżeli jego pole jest równe 192.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Wiemy, że , więc
jest średnicą okręgu. W szczególności
![√ -- 17---2 √ -- AC = 2 ⋅ 2 = 17 2 .](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR3x.png)
To oznacza, że . Oznaczmy
i
i napiszmy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym
.
![AC 2 = AD 2 + CD 2 578 = 49x2 + 529x 2 = 578x 2 ⇒ x = 1.](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR8x.png)
Stąd ,
i
![P = 1-⋅AD ⋅CD = 161- ACD 2 2 161 223 PABC = 192 − -2--= -2--.](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR11x.png)
Jeżeli teraz oznaczymy i
, to w trójkącie
mamy
![{ 2 2 2 a + b = AC = 578 12ab = PABC = 2223 { (a + b)2 − 2ab = 578 ab = 223.](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR15x.png)
Stąd
![(a+ b)2 = 578 + 2ab = 578 + 446 = 1024 = 32 2.](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR16x.png)
Zatem i obwód czworokąta
jet równy
![AD + CD + a+ b = 7+ 23+ 32 = 62 .](https://img.zadania.info/zad/1435269/HzadR19x.png)
Odpowiedź: 62