Zadanie nr 1492250
Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu 9. Kąty
i
są proste (zobacz rysunek). Przekątne
i
tego czworokąta przecinają się w punkcie
tak, że
oraz
.
Oblicz długości boków czworokąta .
Rozwiązanie
Bez trudu powinniśmy zauważyć, że podane informacje oznaczają, że jest średnicą danego okręgu, więc
. Ponadto
![DE = 5-BD = 15 6 1 BE = 6-BD = 3 AE = 1-BD = 9. 2](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR2x.png)
Możemy też łatwo obliczyć długość odcinka – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
, albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.
![DE--⋅BE- 15⋅3-- AE ⋅CE = DE ⋅BE ⇒ CE = AE = 9 = 5.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR6x.png)
Na tym się kończą proste obserwacje.
Sposób I
Zadania nie uda nam się rozwiązać jeżeli nie pobawimy się trochę z danym rysunkiem – warto podpisać długości odcinków, które udało nam się obliczyć. Musimy też jakoś wykorzystać fakt, że jest średnicą okręgu, co w szczególności oznacza, że środek okręgu
pokrywa się ze środkiem odcinka
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR10x.png)
Jeżeli trochę pokombinujemy i dorysujemy promienie i
, to możemy zauważyć obiecującą sytuację – w każdym z trójkątów
i
znamy długości wszystkich trzech boków. To oznacza, że jesteśmy w stanie obliczyć wszystko co chcemy w tych trójkątach. Szczególnie obiecujący jest dolny trójkąt
, bo dodatkowo jest równoramienny:
. Obliczmy wysokość
tego trójkąta. Na mocy twierdzenia Pitagorasa
![∘ ----------- √ ------- √ --- √ -- AF = AE 2 − EF 2 = 8 1− 9 = 72 = 6 2.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR18x.png)
(Mogliśmy też skorzystać ze znanego faktu, że wysokość w trójkącie prostokątnym
jest średnią geometryczną odcinków
i
:
). Teraz jest już z górki – patrzymy na trójkąty prostokątne
i
.
![∘ ------------ √ --------- √ ---- √ -- AD = AF 2 + DF 2 = 7 2+ 144 = 21 6 = 6 6 ∘ ----------- √ -------- √ ---- √ -- AB = AF 2 + FB 2 = 72 + 36 = 108 = 6 3 .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR26x.png)
Musimy jeszcze obliczyć długości pozostałych dwóch boków czworokąta – korzystamy w tym celu np. z podobieństwa trójkątów
i
(trójkąty te są podobne, bo mają równe kąty:
i
jako kąty wpisane oparte na równych łukach).
![BC--= AD-- BE AE √ -- AD 6 6 √ -- BC = ----⋅ BE = -----⋅3 = 2 6 A∘E------------9 √ --------- √ ---- √ -- CD = BD 2 − BC 2 = 324− 24 = 30 0 = 10 3.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR32x.png)
Sposób II
Tym razem pozostańmy w okolicach oryginalnego rysunku.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR33x.png)
Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta
między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach
,
,
i
). Oznaczmy dodatkowo
i
. Mamy wtedy
![( |{ x 2 + y 2 = BD 2 = 32 4 x 2 = 32 + 52 − 2⋅3 ⋅5 cosα = 34− 30co sα |( 2 2 2 ∘ y = 15 + 5 − 2⋅1 5⋅5 cos(180 − α ) = 250 + 150 cosα .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR42x.png)
Drugie równanie mnożymy przez 5 i dodajemy do trzeciego równania (żeby skrócić ).
![5x2 + y2 = 420 ⇒ y2 = 420 − 5x 2.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR44x.png)
Podstawiamy teraz to wyrażenie do pierwszego równania
![2 2 2 2 2 3 24 = x + y = x + 4 20− 5x =√420-− 4x√ -- / : 4 x2 = 105 − 81 = 24 ⇒ x = 24 = 2 6.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR45x.png)
Wtedy
![2 2 √ ---- √ -- y = 420− 5x = 42 0− 1 20 = 300 ⇒ y = 300 = 10 3.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR46x.png)
Wracamy jeszcze do drugiego równania początkowego układu – żeby obliczyć .
![1 0 1 30co sα = 34 − x 2 = 34 − 24 = 10 ⇒ cos α = --- = --. 3 0 3](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR48x.png)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![AD 2 = 152 + 92 − 2⋅15 ⋅9 cosα = 306 − 270 ⋅ 1-= 216 √ ---- √ -- 3 AD = 216 = 6 6 .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR50x.png)
Długość boku obliczamy już z twierdzenia Pitagorasa.
![∘ ---2-------2 √ ---------- √ ---- √ -- AB = BD − AD = 324 − 216 = 108 = 6 3 .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR52x.png)
Sposób III
Zadanie można też w miarę prosto rozwiązać przy użyciu geometrii analitycznej. Umieśćmy całą sytuację w układzie współrzędnych w ten sposób, żeby i
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR55x.png)
Okrąg opisany na czworokącie ma wtedy równanie
![x2 + y2 = 92 = 81 .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR57x.png)
Ponadto, . Tak samo jak w sposobie I zauważamy, że trójkąt
jest równoramienny i niech
będzie spodkiem jego wysokości opuszczonej z wierzchołka
. Łatwo teraz wyznaczyć współrzędne punktu
– jest to punkt wspólny danego okręgu i pionowej prostej
. Podstawiamy
do równania okręgu.
![√ --- √ -- 81 = x2 + y2 = 9+ y2 ⇒ y2 = 72 ⇒ y = ± 72 = ± 6 2 .](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR65x.png)
Jeżeli umieścimy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby punkt
znajdował się poniżej osi
, to mamy wtedy
.
Piszemy teraz równanie prostej . Szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 0 = 6a + b √ -- −6 2 = 3a + b.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR74x.png)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy
![√ -- √ -- 6 2 = 3a ⇒ a = 2 2.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR76x.png)
Stąd
![b = − 6a = − 12√ 2-](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR77x.png)
i prosta ma równanie
![√ -- √ -- √ -- y = 2 2x − 12 2 = 2 2(x − 6).](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR79x.png)
Szukamy teraz jej punktu wspólnego z okręgiem opisanym na czworokącie
. Podstawiamy
do równania okręgu.
![2 2 2 2 2 2 8 1 = x + y = x + 8(x − 6 ) = x + 8x − 96x + 28 8 / : 3 0 = 3x2 − 32x + 6 9 2 Δ = 1024 − 82 8 = 196 = 14 32 − 14 32+ 14 46 23 x = --------= 3 lub x = --------= ---= --. 6 6 6 3](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR83x.png)
Pierwsza możliwość dałaby nam punkt więc,
,
![( ) y = 2√ 2(x − 6) = 2√ 2- 23-− 6 = 10√ 2- 3 3](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR86x.png)
i . Pozostało teraz obliczyć długości boków czworokąta
.
![∘ ------------------- 2 ( √ -)2 √ -------- √ ---- √ -- AB = (9 − 3 ) + 6 2 = 36+ 72 = 108 = 6 3 ∘ ------------------------- ∘ ---------- ( 2 3 ) 2 ( 10 √ -) 2 1 6 200 √ --- √ -- BC = ---− 9 + --- 2 = ---+ ----= 24 = 2 6 ∘ ---3-------- 3 9--- 9 -- CD = BD 2 − BC 2 = √ 324-−-24-= √ 300 = 10 √ 3 ∘ ------------ √ ---------- √ ---- √ -- DA = BD 2 − AB 2 = 324 − 10 8 = 216 = 6 6.](https://img.zadania.info/zad/1492250/HzadR89x.png)
Odpowiedź: