/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 1492250

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 9. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |DE | = 5 ⋅|BE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .


ZINFO-FIGURE


Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Bez trudu powinniśmy zauważyć, że podane informacje oznaczają, że DB jest średnicą danego okręgu, więc DB = 2r = 18 . Ponadto

DE = 5-BD = 15 6 1 BE = 6-BD = 3 AE = 1-BD = 9. 2

Możemy też łatwo obliczyć długość odcinka CE – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów CDE i BAE , albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.

 DE--⋅BE- 15⋅3-- AE ⋅CE = DE ⋅BE ⇒ CE = AE = 9 = 5.

Na tym się kończą proste obserwacje.

Sposób I

Zadania nie uda nam się rozwiązać jeżeli nie pobawimy się trochę z danym rysunkiem – warto podpisać długości odcinków, które udało nam się obliczyć. Musimy też jakoś wykorzystać fakt, że BD jest średnicą okręgu, co w szczególności oznacza, że środek okręgu S pokrywa się ze środkiem odcinka BD .


ZINFO-FIGURE

Jeżeli trochę pokombinujemy i dorysujemy promienie SA i SC , to możemy zauważyć obiecującą sytuację – w każdym z trójkątów ASE i CSE znamy długości wszystkich trzech boków. To oznacza, że jesteśmy w stanie obliczyć wszystko co chcemy w tych trójkątach. Szczególnie obiecujący jest dolny trójkąt ASE , bo dodatkowo jest równoramienny: AS = AE = 9 . Obliczmy wysokość AF tego trójkąta. Na mocy twierdzenia Pitagorasa

 ∘ ----------- √ ------- √ --- √ -- AF = AE 2 − EF 2 = 8 1− 9 = 72 = 6 2.

(Mogliśmy też skorzystać ze znanego faktu, że wysokość AF w trójkącie prostokątnym ABD jest średnią geometryczną odcinków DF i BF :  √ -------- AF = DF ⋅ BF ). Teraz jest już z górki – patrzymy na trójkąty prostokątne AF D i AF B .

 ∘ ------------ √ --------- √ ---- √ -- AD = AF 2 + DF 2 = 7 2+ 144 = 21 6 = 6 6 ∘ ----------- √ -------- √ ---- √ -- AB = AF 2 + FB 2 = 72 + 36 = 108 = 6 3 .

Musimy jeszcze obliczyć długości pozostałych dwóch boków czworokąta ABCD – korzystamy w tym celu np. z podobieństwa trójkątów AED i BEC (trójkąty te są podobne, bo mają równe kąty: ∡DAC = ∡DBC i ∡ADB = ∡ACB jako kąty wpisane oparte na równych łukach).

BC--= AD-- BE AE √ -- AD 6 6 √ -- BC = ----⋅ BE = -----⋅3 = 2 6 A∘E------------9 √ --------- √ ---- √ -- CD = BD 2 − BC 2 = 324− 24 = 30 0 = 10 3.

Sposób II

Tym razem pozostańmy w okolicach oryginalnego rysunku.


ZINFO-FIGURE

Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta ABCD , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta ∡CEB = α między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach CEB , CED , AEB i AED ). Oznaczmy dodatkowo CB = x i CD = y . Mamy wtedy

( |{ x 2 + y 2 = BD 2 = 32 4 x 2 = 32 + 52 − 2⋅3 ⋅5 cosα = 34− 30co sα |( 2 2 2 ∘ y = 15 + 5 − 2⋅1 5⋅5 cos(180 − α ) = 250 + 150 cosα .

Drugie równanie mnożymy przez 5 i dodajemy do trzeciego równania (żeby skrócić co sα ).

5x2 + y2 = 420 ⇒ y2 = 420 − 5x 2.

Podstawiamy teraz to wyrażenie do pierwszego równania

 2 2 2 2 2 3 24 = x + y = x + 4 20− 5x =√420-− 4x√ -- / : 4 x2 = 105 − 81 = 24 ⇒ x = 24 = 2 6.

Wtedy

 2 2 √ ---- √ -- y = 420− 5x = 42 0− 1 20 = 300 ⇒ y = 300 = 10 3.

Wracamy jeszcze do drugiego równania początkowego układu – żeby obliczyć cosα .

 1 0 1 30co sα = 34 − x 2 = 34 − 24 = 10 ⇒ cos α = --- = --. 3 0 3

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AED .

AD 2 = 152 + 92 − 2⋅15 ⋅9 cosα = 306 − 270 ⋅ 1-= 216 √ ---- √ -- 3 AD = 216 = 6 6 .

Długość boku AB obliczamy już z twierdzenia Pitagorasa.

 ∘ ---2-------2 √ ---------- √ ---- √ -- AB = BD − AD = 324 − 216 = 108 = 6 3 .

Sposób III

Zadanie można też w miarę prosto rozwiązać przy użyciu geometrii analitycznej. Umieśćmy całą sytuację w układzie współrzędnych w ten sposób, żeby D = (− 9,0) i B = (9,0) .


ZINFO-FIGURE

Okrąg opisany na czworokącie ABCD ma wtedy równanie

x2 + y2 = 92 = 81 .

Ponadto, E = (6,0) . Tak samo jak w sposobie I zauważamy, że trójkąt ASE jest równoramienny i niech F = (3,0) będzie spodkiem jego wysokości opuszczonej z wierzchołka A . Łatwo teraz wyznaczyć współrzędne punktu A – jest to punkt wspólny danego okręgu i pionowej prostej x = 3 . Podstawiamy x = 3 do równania okręgu.

 √ --- √ -- 81 = x2 + y2 = 9+ y2 ⇒ y2 = 72 ⇒ y = ± 72 = ± 6 2 .

Jeżeli umieścimy czworokąt ABCD w układzie współrzędnych tak, aby punkt A znajdował się poniżej osi Oy , to mamy wtedy  √ -- A = (3,− 6 2) .

Piszemy teraz równanie prostej AE . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów E i A .

{ 0 = 6a + b √ -- −6 2 = 3a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b ) i mamy

 √ -- √ -- 6 2 = 3a ⇒ a = 2 2.

Stąd

b = − 6a = − 12√ 2-

i prosta AE ma równanie

 √ -- √ -- √ -- y = 2 2x − 12 2 = 2 2(x − 6).

Szukamy teraz jej punktu wspólnego C z okręgiem opisanym na czworokącie ABCD . Podstawiamy  √ -- y = 2 2(x− 6) do równania okręgu.

 2 2 2 2 2 2 8 1 = x + y = x + 8(x − 6 ) = x + 8x − 96x + 28 8 / : 3 0 = 3x2 − 32x + 6 9 2 Δ = 1024 − 82 8 = 196 = 14 32 − 14 32+ 14 46 23 x = --------= 3 lub x = --------= ---= --. 6 6 6 3

Pierwsza możliwość dałaby nam punkt A więc, x = 233 ,

 ( ) y = 2√ 2(x − 6) = 2√ 2- 23-− 6 = 10√ 2- 3 3

i  (23 10√ --) C = 3 , 3 2 . Pozostało teraz obliczyć długości boków czworokąta ABCD .

 ∘ ------------------- 2 ( √ -)2 √ -------- √ ---- √ -- AB = (9 − 3 ) + 6 2 = 36+ 72 = 108 = 6 3 ∘ ------------------------- ∘ ---------- ( 2 3 ) 2 ( 10 √ -) 2 1 6 200 √ --- √ -- BC = ---− 9 + --- 2 = ---+ ----= 24 = 2 6 ∘ ---3-------- 3 9--- 9 -- CD = BD 2 − BC 2 = √ 324-−-24-= √ 300 = 10 √ 3 ∘ ------------ √ ---------- √ ---- √ -- DA = BD 2 − AB 2 = 324 − 10 8 = 216 = 6 6.

 
Odpowiedź:  √ -- √ -- √ -- √ -- AB = 6 3, BC = 2 6, CD = 10 3 , DA = 6 6

Wersja PDF
spinner