/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 2173202

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok AB tego czworokąta jest trzy razy krótszy od przekątnej BD , a bok AD ma długość 10. Ponadto spełnione są następujące warunki:

--- cos(∡ADB ) = 19-, |∡BCD | = 90 ∘, oraz |AB | > √ 1 5. 20

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy AB = a , to BD = 3a i na mocy twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD mamy

AB 2 = AD 2 + BD 2 − 2AD ⋅ BD co s∡ADB 1 9 a2 = 100+ 9a2 − 2⋅1 0⋅3a ⋅--- 2 0 0 = 8a2 − 57a+ 100 Δ = 3249 − 3200 = 49 57−--7- 25- 57+--7- a = 16 = 8 lub a = 1 6 = 4.

Wiemy ponadto, że √ --- a > 1 5 , więc a = 4 i BD = 3a = 12 .

Jeżeli teraz oznaczymy BC = x , to informacja o okręgu wpisanym w czworokąt ABCD pozwala obliczyć długość boku CD .

AD + BC = AB + CD CD = AD + BC − AB = 10 + x − 4 = 6+ x.

Trójkąt BCD jest prostokątny, więc możemy skorzystać w nim z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 DB = BC + CD 144 = x2 + (6+ x)2 2 0 = 2x + 12x − 10 8 / : 2 0 = x2 + 6x − 54 √ -- Δ = 36 + 216 = 252 = (6 7)2 √ -- √ -- √ -- x = −-6-−-6--7-< 0 lub x = −-6-+-6--7-= − 3+ 3 7. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

√ -- BC = x = 3 7 − 3.

 
Odpowiedź: √ -- BC = 3 7− 3

Wersja PDF