/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 2552797

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 12 i |CD | = 1 3 , jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem CD kąt, którego tangens jest równy 112019- . Tangens kąta CDA jest równy 152 . Oblicz długość odcinka AB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


ZINFO-FIGURE


Informacja o tym, że czworokąt jest opisany na okręgu oznacza, że

AB + CD = AD + BC AB = AD + BC − CD = AD + 12 − 13 = AD − 1.

Wystarczy więc obliczyć długość odcinka AD . Patrzymy na trójkąt ACD . Znamy w nim długość jednego boku i tangensy przyległych do niego kątów. Jest więc jasne, że powinno dać się obliczyć długości jego pozostałych boków – np. przy pomocy twierdzenia sinusów. Zanim to jednak zrobimy, musimy obliczyć sinus kąta DAC . Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Na mocy wzoru

tg (α+ β) = -tg-α+--tg-β- 1 − tg αtg β

na tangens sumy, mamy

 120- 12 tg ∡CAD = tg(180 ∘ − (α + β )) = − tg(α + β ) = −--119-+--5-- = 1− 120⋅ 12 119 5 6001+1194⋅528 2028- 169-⋅12- 12- = − 595−1440 = 84 5 = 169⋅ 5 = 5 . 119⋅5

Wynik wyszedł bardzo interesujący, bo oznacza, że

tg ∡CDA = tg ∡CAD ,

czyli trójkąt ACD jest równoramienny. Dorysujmy wysokość CE tego trójkąta.


ZINFO-FIGURE

Wiemy, że

12-= tg β = -CE-, 5 DE

więc możemy oznaczyć CE = 12x i DE = 5x dla pewnej liczby x . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie DEC .

CD 2 = DE 2 + CE 2 2 2 2 169 = 25x + 144x = 169x ⇒ x = 1.

W takim razie AD = 10x = 10 i

AB = AD − 1 = 9.

Sposób II

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α

na sinus sumy. Zanim to jednak zrobimy, obliczmy z podanych tangensów wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

 12-0 = tgα = sin-α /()2 11 9 cos α 1440 0 sin2 α sin 2α ------ = ------ = ---------- 1416 1 co s2α 1− sin 2α 14400(1 − sin2 α) = 141 61sin2α ∘ ------- 2 14400- 120- 144 00 = 285 61sin α ⇒ sin α = 28561 = 169 .

Analogicznie obliczamy sinβ .

 12 sinβ ---= tg β = ----- / ()2 5 cos β 144 sin2β sin2 β ----= ---2-- = ------2--- 2 5 cos β 1− sin β 144(1 − sin2β ) = 25sin2 β ∘ ---- 2 144- 12- 144 = 169 sin β ⇒ sin β = 169 = 13 .

Tangensy kątów α i β są dodatnie, więc są to kąty ostre. W takim razie

 ∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- cosα = 1 − sin2 α = 1 − 1-4400 = 141-61 = 1-19 ∘ ----2-8561 ∘ --285 61 1 69 ∘ ---------- 144 25 5 cosβ = 1 − sin2 β = 1 − ----= ----= ---. 169 169 13

Liczymy teraz sinus kąta CAD .

 ∘ sin ∡CAD = sin(18 0 − (α+ β)) = sin(α + β) = 120 5 12 119 2 028 12 = ----⋅---+ ---⋅----= --------= ---. 169 13 13 169 13 ⋅169 13

Stosujemy teraz twierdzenia sinusów w trójkącie ACD .

AD CD -----= ----------- sin α sin∡CAD 120 ---sinα---- 169- AD = sin∡CAD ⋅CD = 12 ⋅13 = 10. 13

Stąd

AB = AD − 1 = 9.

 
Odpowiedź: 9

Wersja PDF
spinner