Zadanie nr 2552797
Czworokąt , w którym
i
, jest opisany na okręgu. Przekątna
tego czworokąta tworzy z bokiem
kąt, którego tangens jest równy
. Tangens kąta
jest równy
. Oblicz długość odcinka
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Informacja o tym, że czworokąt jest opisany na okręgu oznacza, że
![AB + CD = AD + BC AB = AD + BC − CD = AD + 12 − 13 = AD − 1.](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR1x.png)
Wystarczy więc obliczyć długość odcinka . Patrzymy na trójkąt
. Znamy w nim długość jednego boku i tangensy przyległych do niego kątów. Jest więc jasne, że powinno dać się obliczyć długości jego pozostałych boków – np. przy pomocy twierdzenia sinusów. Zanim to jednak zrobimy, musimy obliczyć sinus kąta
. Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Na mocy wzoru
![tg (α+ β) = -tg-α+--tg-β- 1 − tg αtg β](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR5x.png)
na tangens sumy, mamy
![120- 12 tg ∡CAD = tg(180 ∘ − (α + β )) = − tg(α + β ) = −--119-+--5-- = 1− 120⋅ 12 119 5 6001+1194⋅528 2028- 169-⋅12- 12- = − 595−1440 = 84 5 = 169⋅ 5 = 5 . 119⋅5](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR6x.png)
Wynik wyszedł bardzo interesujący, bo oznacza, że
![tg ∡CDA = tg ∡CAD ,](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR7x.png)
czyli trójkąt jest równoramienny. Dorysujmy wysokość
tego trójkąta.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR10x.png)
Wiemy, że
![12-= tg β = -CE-, 5 DE](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR11x.png)
więc możemy oznaczyć i
dla pewnej liczby
. Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie
.
![CD 2 = DE 2 + CE 2 2 2 2 169 = 25x + 144x = 169x ⇒ x = 1.](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR16x.png)
W takim razie i
![AB = AD − 1 = 9.](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR18x.png)
Sposób II
Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru
![sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR19x.png)
na sinus sumy. Zanim to jednak zrobimy, obliczmy z podanych tangensów wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.
![12-0 = tgα = sin-α /()2 11 9 cos α 1440 0 sin2 α sin 2α ------ = ------ = ---------- 1416 1 co s2α 1− sin 2α 14400(1 − sin2 α) = 141 61sin2α ∘ ------- 2 14400- 120- 144 00 = 285 61sin α ⇒ sin α = 28561 = 169 .](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR20x.png)
Analogicznie obliczamy .
![12 sinβ ---= tg β = ----- / ()2 5 cos β 144 sin2β sin2 β ----= ---2-- = ------2--- 2 5 cos β 1− sin β 144(1 − sin2β ) = 25sin2 β ∘ ---- 2 144- 12- 144 = 169 sin β ⇒ sin β = 169 = 13 .](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR22x.png)
Tangensy kątów i
są dodatnie, więc są to kąty ostre. W takim razie
![∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ------- cosα = 1 − sin2 α = 1 − 1-4400 = 141-61 = 1-19 ∘ ----2-8561 ∘ --285 61 1 69 ∘ ---------- 144 25 5 cosβ = 1 − sin2 β = 1 − ----= ----= ---. 169 169 13](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR25x.png)
Liczymy teraz sinus kąta .
![∘ sin ∡CAD = sin(18 0 − (α+ β)) = sin(α + β) = 120 5 12 119 2 028 12 = ----⋅---+ ---⋅----= --------= ---. 169 13 13 169 13 ⋅169 13](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR27x.png)
Stosujemy teraz twierdzenia sinusów w trójkącie .
![AD CD -----= ----------- sin α sin∡CAD 120 ---sinα---- 169- AD = sin∡CAD ⋅CD = 12 ⋅13 = 10. 13](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR29x.png)
Stąd
![AB = AD − 1 = 9.](https://img.zadania.info/zad/2552797/HzadR30x.png)
Odpowiedź: 9