/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 3314473

Wierzchołki rombu EF GH leżą na bokach trójkąta ABC , przy czym boki EH i F G są równoległe do środkowej CD trójkąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość boku rombu EF GH jeżeli |AB | = 1 6 i |CD | = 6 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x długość boku rombu EF GH .

Sposób I

Trójkąt CHG jest podobny do trójkąta CAB , więc

CH-- HG-- x-- CA = AB = 16.

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów AEH i ADC mamy

AH-- HE-- x- AC = CD = 6 .

Dodajemy teraz te równości stronami i mamy

CH--+ AH-- = -x-+ x- AC AC 1 6 6 CH + AH 3x + 8x ---AC------= ---48--- 1 = 1-1x ⇒ x = 48. 4 8 11

Sposób II

Niech S będzie punktem wspólnym środkowej CD i odcinka HG .

PIC

Trójkąt CHS jest podobny do CAD , a trójkąt CGS jest podobny do trójkąta CBD . Zatem

HS CS SG ----= ----= ----. AD CD DB

Punkt D jest środkiem odcinka AB , więc AD = DB i powyższa równość oznacza, że

HG x HS = SG = ----= --. 2 2

Patrzymy teraz raz jeszcze na trójkąty podobne CHS i CAD .

CS HS ----= ---- CD AxD 6-−-x-= 2- 6 8 x- 8(6 − x) = 6⋅ 2 48 − 8x = 3x 48- 11x = 48 ⇒ x = 11.

 
Odpowiedź: 48 11

Wersja PDF