/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 4987420

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie E tak, że |BE | = 6 , |CE | = 3 i |DE | = 2 . Ponadto |AD | = |CD | (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Oblicz długości boków czworokąta ABCD oraz promień opisanego na nim okręgu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że dość łatwo możemy obliczyć długość odcinka AE – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów CDE i BAE , albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.

 DE--⋅BE- 2-⋅6 AE ⋅ CE = DE ⋅BE ⇒ AE = CE = 3 = 4.

Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta ABCD , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta ∡AED = α między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach AED , CED , AEB i BEC ). Oznaczmy dodatkowo AD = CD = x .


ZINFO-FIGURE


Mamy zatem

{ x2 = 22 + 42 − 2⋅2 ⋅4 cosα = 20− 16 cosα 2 2 2 ∘ x = 2 + 3 − 2⋅2 ⋅3 cos(180 − α) = 13+ 12co sα.

Pierwsze równanie mnożymy przez 12 3 16 = 4 i dodajemy do drugiego równania (żeby skrócić cosα ).

3- 2 2 4- 4 x + x = 15 + 13 = 28 / ⋅7 2 x = 16 ⇒ x = 4.

Pozostałe boki czworokąta ABCD obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wracamy jeszcze do drugiego równania powyższego układu – żeby obliczyć cosα .

12 cosα = x2 − 13 = 1 6− 1 3 = 3 ⇒ cosα = 3--= 1. 12 4

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AEB .

AB 2 = 42 + 62 − 2 ⋅4 ⋅6co s(180∘ − α ) = 52+ 48 ⋅ 1-= 6 4 4 AB = 8.

Analogicznie obliczamy długość odcinka BC – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BEC .

BC 2 = 32 + 62 − 2 ⋅3⋅ 6cos α = 9 + 36 − 9 = 36 BC = 6 .

Pozostał nam jeszcze do obliczenia promień okręgu, w który jest wpisany czworokąt ABCD . Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów w jednym z trójkątów wpisanych w ten okrąg, np. w trójkącie równoramiennym ADC , ale potrzebujemy do tego sinus jednego z kątów tego trójkąta. Dorysujmy wysokość DF w trójkącie ADC .


ZINFO-FIGURE

W trójkącie prostokątnym ADF mamy

 1 AF-- -2AC- 7- cos ∡DAF = AD = 4 = 8.

Stąd

 ∘ ------- √ --- 49 15 sin ∡DAF = 1− ---= ----- 64 8

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ACD .

 √ --- √ --- 2R = ---CD------= √4--= √32--= 32--15- ⇒ R = 16--15-. sin ∡DAF -15- 15 15 15 8

Sposób II

Korzystamy z podobieństwa trójkątów ABE i DEC .

AB--= DC-- ⇒ AB = DC-- ⋅AE = 4-⋅4 = 8. AE DE DE 2

Analogicznie obliczamy długość odcinka BC – korzystamy z podobieństwa trójkątów AED i BEC .

BC--= AD-- ⇒ BC = AD-- ⋅BE = 4-⋅6 = 6. BE AE AE 4

Promień okręgu opisanego obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: AB = 8, BC = 6, CD = 4, DA = 4 ,  16√-15- R = 15

Wersja PDF
spinner