Zadanie nr 4987420

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 6 , |CE | = 3 i |DE | = 2 . Ponadto |AD | = |CD | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD oraz promień opisanego na nim okręgu.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dość łatwo możemy obliczyć długość odcinka – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów CDE i BAE , albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.

DE--⋅BE- 2-⋅6 AE ⋅ CE = DE ⋅BE ⇒ AE = CE = 3 = 4.

Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta ABCD , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta ∡AED = α między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach AED , CED , AEB i BEC ). Oznaczmy dodatkowo AD = CD = x .

ZINFO-FIGURE

Mamy zatem

{ x2 = 22 + 42 − 2⋅2 ⋅4 cosα = 20− 16 cosα 2 2 2 ∘ x = 2 + 3 − 2⋅2 ⋅3 cos(180 − α) = 13+ 12co sα.

Pierwsze równanie mnożymy przez 12 3 16 = 4 i dodajemy do drugiego równania (żeby skrócić cosα ).

3- 2 2 4- 4 x + x = 15 + 13 = 28 / ⋅7 2 x = 16 ⇒ x = 4.

Pozostałe boki czworokąta ABCD obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wracamy jeszcze do drugiego równania powyższego układu – żeby obliczyć cosα .

12 cosα = x2 − 13 = 1 6− 1 3 = 3 ⇒ cosα = 3--= 1. 12 4

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AEB .

AB 2 = 42 + 62 − 2 ⋅4 ⋅6co s(180∘ − α ) = 52+ 48 ⋅ 1-= 6 4 4 AB = 8.

Analogicznie obliczamy długość odcinka – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BEC .

BC 2 = 32 + 62 − 2 ⋅3⋅ 6cos α = 9 + 36 − 9 = 36 BC = 6 .

Pozostał nam jeszcze do obliczenia promień okręgu, w który jest wpisany czworokąt ABCD . Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów w jednym z trójkątów wpisanych w ten okrąg, np. w trójkącie równoramiennym ADC , ale potrzebujemy do tego sinus jednego z kątów tego trójkąta. Dorysujmy wysokość w trójkącie ADC .