Zadanie nr 4987420
Przekątne czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie
tak, że
,
i
. Ponadto
(zobacz rysunek).
Oblicz długości boków czworokąta oraz promień opisanego na nim okręgu.
Rozwiązanie
Zauważmy, że dość łatwo możemy obliczyć długość odcinka – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
, albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.
![DE--⋅BE- 2-⋅6 AE ⋅ CE = DE ⋅BE ⇒ AE = CE = 3 = 4.](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR3x.png)
Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta
między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach
,
,
i
). Oznaczmy dodatkowo
.
Mamy zatem
![{ x2 = 22 + 42 − 2⋅2 ⋅4 cosα = 20− 16 cosα 2 2 2 ∘ x = 2 + 3 − 2⋅2 ⋅3 cos(180 − α) = 13+ 12co sα.](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR12x.png)
Pierwsze równanie mnożymy przez i dodajemy do drugiego równania (żeby skrócić
).
![3- 2 2 4- 4 x + x = 15 + 13 = 28 / ⋅7 2 x = 16 ⇒ x = 4.](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR15x.png)
Pozostałe boki czworokąta obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Wracamy jeszcze do drugiego równania powyższego układu – żeby obliczyć .
![12 cosα = x2 − 13 = 1 6− 1 3 = 3 ⇒ cosα = 3--= 1. 12 4](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR18x.png)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![AB 2 = 42 + 62 − 2 ⋅4 ⋅6co s(180∘ − α ) = 52+ 48 ⋅ 1-= 6 4 4 AB = 8.](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR20x.png)
Analogicznie obliczamy długość odcinka – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie
.
![BC 2 = 32 + 62 − 2 ⋅3⋅ 6cos α = 9 + 36 − 9 = 36 BC = 6 .](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR23x.png)
Pozostał nam jeszcze do obliczenia promień okręgu, w który jest wpisany czworokąt . Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów w jednym z trójkątów wpisanych w ten okrąg, np. w trójkącie równoramiennym
, ale potrzebujemy do tego sinus jednego z kątów tego trójkąta. Dorysujmy wysokość
w trójkącie
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR28x.png)
W trójkącie prostokątnym mamy
![1 AF-- -2AC- 7- cos ∡DAF = AD = 4 = 8.](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR30x.png)
Stąd
![∘ ------- √ --- 49 15 sin ∡DAF = 1− ---= ----- 64 8](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR31x.png)
Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
![√ --- √ --- 2R = ---CD------= √4--= √32--= 32--15- ⇒ R = 16--15-. sin ∡DAF -15- 15 15 15 8](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR33x.png)
Sposób II
Korzystamy z podobieństwa trójkątów i
.
![AB--= DC-- ⇒ AB = DC-- ⋅AE = 4-⋅4 = 8. AE DE DE 2](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR36x.png)
Analogicznie obliczamy długość odcinka – korzystamy z podobieństwa trójkątów
i
.
![BC--= AD-- ⇒ BC = AD-- ⋅BE = 4-⋅6 = 6. BE AE AE 4](https://img.zadania.info/zad/4987420/HzadR40x.png)
Promień okręgu opisanego obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: ,