/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 5400590

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem AB – kąt ostry, którego sinus jest równy 14 . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Długość boku AB obliczamy pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie ABC .

--AB--- BC--- sin 60∘ = sin α √ -- √ -- AB = 4-⋅--3-= 8 3. 14 2

Sposób I

Korzystamy z informacji o tym, że w czworokąt można wpisać okrąg – dzięki temu nie musimy obliczać długości boku AD . Obwód czworokąta ABCD jest równy

AB + BC + CD + AD = (AB + CD )+ (BC + AD ) = 2(AB + CD ) = √ -- √ -- = 2 (8 3+ 5) = 16 3 + 10.

Sposób II

Korzystamy z informacji o tym, że w czworokąt można wpisać okrąg – pozwoli to nam obliczyć długość boku AD .

AB√ +- CD = AD + BC √ -- 8 3+ 5 = AD + 4 ⇒ AD = 8 3+ 1.

Obwód czworokąta ABCD jest więc równy

√ -- √ -- AB + BC + CD + AD = 8 √3+- 4+ 5+ 8 3+ 1 = = 16 3 + 10.

 
Odpowiedź: √ -- 16 3 + 1 0

Wersja PDF