/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 5558424

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 7 2 . Kąt ADC tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o 15 ∘ większa od miary kąta BAD . Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD jest równy 3 8 . Oblicz długości przekątnych AC i BD tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli oznaczmy miary kątów wewnętrznych czworokąta ABCD tak jak na powyższym rysunku, to mamy

∘ ∘ γ = 180 − α ⇒ sin γ = sin(180 − α ) = sin α β = 180 ∘ − δ ⇒ sinβ = sin(180∘ − δ) = sin δ.

Informacje podane w treści zadania możemy więc zapisać w postaci

3 2 2 --= sin α sin β sin γ sinδ = sin αsin δ = 8 2 2 ∘ = sin αsin (α+ 15 ).

Sinusy kątów wypukłych są nieujemne, więc mamy stąd

√ -- √ -- ∘ -√-3- --6- sin α ⋅sin(α + 1 5 ) = 2 2 = 4 .

Możemy otrzymaną zależność przekształcić na różne sposoby, ale najpierw obliczmy funkcje trygonometryczne kąta ∘ 15 .

sin 15∘ = sin (45∘ − 30∘) = sin 45∘co s30∘ − sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --3- 1- --2- --6- --2- = 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 = 4 − 4 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos 15 = co√ s(45√ -− 30√ )-= co s4√5--cos3√ 0-+ sin 45 sin 30 = 2 3 2 1 6 2 = ---⋅ ----+ ----⋅--= ----+ ---. 2 2 2 2 4 4

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

√ 6- ----= sin α⋅sin (α + 15∘) = sin α(sin αco s15∘ + sin1 5∘cos α) = 4 = sin2 αcos 15∘ + sinα cos αsin 15∘ = ( ) = 1-−-cos-2α cos15∘ + 1sin 2αsin 15∘ = 2 2 1 1 = --co s15∘ − --(cos2α cos 15∘ − sin 2α sin 15∘) = 2 ( √ -- √2-) 1- --6- --2- 1- ∘ = 2 4 + 4 − 2 cos(2α + 15 ).

Stąd

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- co s(2α+ 15∘) = ---6+ --2-− --6-= --2-− --6-= 4 4 2 4 4 = − sin 15∘ = co s(90∘ + 15∘).

Ponieważ α jest kątem ostrym oznacza to, że

2α + 1 5∘ = 90∘ + 15∘ ⇒ α = 45∘.

To w połączeniu z twierdzeniem sinusów pozwala obliczyć długość przekątnej BD

√ -- BD √ -- 2 -----= 2R ⇒ BD = 2R sin α = 2 ⋅7 2 ⋅----= 14. sin α 2

Podobnie obliczmy długość drugiej przekątnej.

δ = α + 15∘ = 4 5∘ + 15∘ = 60∘ √ -- AC--- √ -- --3- √ -- sin δ = 2R ⇒ AC = 2R sin δ = 2 ⋅7 2⋅ 2 = 7 6.

Sposób II

Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na różnicę sinusów

cos x− cosy = − 2sin x-+-y-sin x-−-y- 2 2

Prawa strona tego wzoru bardzo przypomina lewą stronę otrzymanej przez nas równości

√ -- ∘ --6- sinα ⋅sin (α+ 15 ) = 4

Odpowiednie wartości x i y możemy wyznaczyć z warunku

{ x+2y-= α + 1 5∘ x−y- 2 = α .

Po dodaniu tych równań stronami mamy ∘ x = 2α + 1 5 , a po odjęciu ∘ y = 15 . Mamy zatem

√ -- --6- 1- ∘ 1- ∘ ∘ 4 = − 2 ⋅(− 2 sin α ⋅sin(α + 15 )) = − 2 (cos(2α + 15 ) − cos 15 ) = 1 1 = − --cos(2α + 1 5∘)+ --cos15∘ / ⋅2 √ -- 2 2 --6- ∘ ∘ 2 = − co s(2α + 15 ) + cos 15 .

Korzystamy teraz z wcześniej obliczonych wartości ∘ cos 15 i ∘ sin 15 .

√ -- √ -- √ -- √ -- ∘ ∘ --6- --6- --2- --6- cos(2 α+ 15 ) = cos 15 − 2 = 4 + 4 − 2 = √ -- √ -- = --2-− --6-= − sin 15∘ = cos(90∘ + 15∘). 4 4

Ponieważ α jest kątem ostrym, mamy stąd

∘ ∘ ∘ ∘ 2α + 1 5 = 90 + 15 ⇒ α = 45 .

Długości przekątnych obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: BD = 14 , √ -- AC = 7 6

Wersja PDF