Zadanie nr 5558424
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu
. Kąt
tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o
większa od miary kąta
. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta
jest równy
. Oblicz długości przekątnych
i
tego czworokąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli oznaczmy miary kątów wewnętrznych czworokąta tak jak na powyższym rysunku, to mamy

Informacje podane w treści zadania możemy więc zapisać w postaci

Sinusy kątów wypukłych są nieujemne, więc mamy stąd

Możemy otrzymaną zależność przekształcić na różne sposoby, ale najpierw obliczmy funkcje trygonometryczne kąta .

Sposób I
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

Stąd

Ponieważ jest kątem ostrym oznacza to, że

To w połączeniu z twierdzeniem sinusów pozwala obliczyć długość przekątnej

Podobnie obliczmy długość drugiej przekątnej.

Sposób II
Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na różnicę sinusów

Prawa strona tego wzoru bardzo przypomina lewą stronę otrzymanej przez nas równości

Odpowiednie wartości i
możemy wyznaczyć z warunku

Po dodaniu tych równań stronami mamy , a po odjęciu
. Mamy zatem

Korzystamy teraz z wcześniej obliczonych wartości i
.

Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd

Długości przekątnych obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: ,