Zadanie nr 5834466

Bez trudu powinniśmy zauważyć, że podane informacje oznaczają, że jest średnicą danego okręgu, więc . Ponadto

Możemy też łatwo obliczyć długość odcinka – albo korzystamy z podobieństwa trójkątów i , albo nawet krócej, korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu.

Na tym się kończą proste obserwacje.

Zadania nie uda nam się rozwiązać jeżeli nie pobawimy się trochę z danym rysunkiem – warto podpisać długości odcinków, które udało nam się obliczyć. Musimy też jakoś wykorzystać fakt, że jest średnicą okręgu, co w szczególności oznacza, że środek okręgu pokrywa się ze środkiem odcinka .

Jeżeli trochę pokombinujemy i dorysujemy promienie i , to możemy zauważyć obiecującą sytuację – w każdym z trójkątów i znamy długości wszystkich trzech boków. To oznacza, że jesteśmy w stanie obliczyć wszystko co chcemy w tych trójkątach. Szczególnie obiecujący jest dolny trójkąt , bo dodatkowo jest równoramienny: . Obliczmy wysokość tego trójkąta. Na mocy twierdzenia Pitagorasa

(Mogliśmy też skorzystać ze znanego faktu, że wysokość w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną odcinków i : ). Teraz jest już z górki – patrzymy na trójkąty prostokątne i .

Musimy jeszcze obliczyć długości pozostałych dwóch boków czworokąta – korzystamy w tym celu np. z podobieństwa trójkątów i (trójkąty te są podobne, bo mają równe kąty: i jako kąty wpisane oparte na równych łukach).

Tym razem pozostańmy w okolicach oryginalnego rysunku.

Ponieważ znamy długości odcinków, na które dzielą się przekątne czworokąta , do obliczenia długości boków czworokąta wystarczy obliczyć cosinus kąta między przekątnymi (znajomość tego cosinusa pozwoli nam napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach , , i ). Oznaczmy dodatkowo i . Mamy wtedy

Drugie równanie mnożymy przez 3 i dodajemy do trzeciego równania (żeby skrócić ).

Podstawiamy teraz to wyrażenie do pierwszego równania

Wtedy

Wracamy jeszcze do drugiego równania początkowego układu – żeby obliczyć .

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .

Długość boku obliczamy już z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie można też w miarę prosto rozwiązać przy użyciu geometrii analitycznej. Umieśćmy całą sytuację w układzie współrzędnych w ten sposób, żeby i .

Okrąg opisany czworokącie ma wtedy równanie

Ponadto, . Tak samo jak w sposobie I zauważamy, że trójkąt jest równoramienny i niech będzie spodkiem jego wysokości opuszczonej z wierzchołka . Łatwo teraz wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt wspólny danego okręgu i pionowej prostej . Podstawiamy do równania okręgu.

Jeżeli umieścimy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby punkt znajdował się poniżej osi , to mamy wtedy .

Piszemy teraz równanie prostej . Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy

Stąd

i prosta ma równanie

Szukamy teraz jej punktu wspólnego z okręgiem opisanym na czworokącie . Podstawiamy do równania okręgu.

Druga możliwość dałaby nam punkt więc, ,

i . Pozostało teraz obliczyć długości boków czworokąta .

 
Odpowiedź: