/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 6502591

W czworokąt ABCD , w którym |AD | = 4 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna BD tworzy z bokiem AB czworokąta kąt o mierze 45 ∘ , natomiast z bokiem AD tworzy kąt, którego sinus jest równy 14 . Wyznacz długości boków AB i BC oraz długość przekątnej BD tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Długość boku AB obliczamy pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

AB---= --AD--- sin α sin4 5∘ 4 1 2 √ -- AB = -√2 ⋅--= √---= 2. 2-- 4 2

Teraz korzystamy z informacji o tym, że w czworokąt można wpisać okrąg – pozwoli to nam obliczyć długość boku BC .

AB + CD = AD + BC √ -- √ -- 2 + 6 = 4+ BC ⇒ BC = 2 + 2.

Długość przekątnej BD obliczymy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

AD 2 = AB 2 + BD 2 − 2AB ⋅BD co s45∘ 2 16 = 2 + BD − 2BD BD 2 − 2BD − 14 = 0 .

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

√ ---2 Δ = 4 + 56 =√ -60 = (2 15 ) √ --- 2 − 2 15 2+ 2 15 √ --- BD = ----------< 0 lub BD = ----------= 1+ 15. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy BD = 1 + √ 15- .  
Odpowiedź: √ -- √ -- √ --- AB = 2, BC = 2+ 2 , BD = 1+ 15

Wersja PDF