Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7789063

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Długości boków tego czworokąta są równe |BC | = 12 , |CD | = 6 , |AD | = 1 0 , a kąt ABC ma miarę 60∘ . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc

∡ADC = 180 ∘ − ∡ABC = 18 0∘ − 6 0∘ = 120∘.

Korzystamy teraz z twierdzenia cosinusów w trójkącie ADC , aby obliczyć długość przekątnej AC

AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC ⋅c os120 ∘ = = 100 + 3 6− 2 ⋅10 ⋅6 ⋅cos(180 ∘ − 1 20∘) = = 136 + 1 20⋅co s60∘ = 136+ 120 ⋅ 1-= 136+ 60 = 19 6. 2

Stąd AC = 1 4 i na mocy twierdzenia sinusów interesujący na promień R okręgu opisanego na czworokącie ABCD (a więc też na trójkącie ABC ) spełnia warunek

 √ -- 2R = --AC--- = -1√4 = 2√8--= 28--3. sin6 0∘ -3- 3 3 2

Stąd  - 14√3- R = 3 .  
Odpowiedź:  √ - 143-3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!