/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 7789063

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Długości boków tego czworokąta są równe |BC | = 12 , |CD | = 6 , |AD | = 1 0 , a kąt ABC ma miarę 60∘ . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc

∡ADC = 180 ∘ − ∡ABC = 18 0∘ − 6 0∘ = 120∘.

Korzystamy teraz z twierdzenia cosinusów w trójkącie ADC , aby obliczyć długość przekątnej AC

AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC ⋅c os120 ∘ = = 100 + 3 6− 2 ⋅10 ⋅6 ⋅cos(180 ∘ − 1 20∘) = = 136 + 1 20⋅co s60∘ = 136+ 120 ⋅ 1-= 136+ 60 = 19 6. 2

Stąd AC = 1 4 i na mocy twierdzenia sinusów interesujący na promień R okręgu opisanego na czworokącie ABCD (a więc też na trójkącie ABC ) spełnia warunek

√ -- 2R = --AC--- = -1√4 = 2√8--= 28--3. sin6 0∘ -3- 3 3 2

Stąd - 14√3- R = 3 .  
Odpowiedź: √ - 143-3

Wersja PDF