Zadanie nr 8482634
Czworokąt , w którym
i
, jest opisany na okręgu. Kąt
tego czworokąta jest rozwarty, a promień okręgu opisanego na trójkącie
jest równy 12,5. Obwód czworokąta
jest równy 66. Oblicz długość przekątnej
tego czworokąta.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Na czworokącie można opisać okrąg, więc sumy jego przeciwległych boków są równe. Zatem
![66- AB + CD = AD + BC = 2 = 33 .](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR2x.png)
Stąd
![AB = 33− 26 = 7 BC = 33− 18 = 15.](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR3x.png)
Spróbujmy jeszcze wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu opisanego na trójkącie . Jeżeli oznaczymy
, to na mocy twierdzenia sinusów
![-AB-- = 2R ⇒ sin α = AB--= 7-. sin α 2R 25](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR6x.png)
Wiemy, że kąt jest rozwarty, więc
jest kątem ostrym. W takim razie
![∘ -------- ∘ ---- ∘ ---------- 49 5 76 2 4 co sα = 1− sin 2α = 1− ----= ---- = ---. 625 6 25 2 5](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR9x.png)
Sposób I
Dokładnie tak samo jak obliczyliśmy funkcje trygonometryczne kąta , obliczamy funkcje trygonometryczne kąta
.
![-AB-- -BC-- BC-- 1-5 7-- 3- sin α = sin β ⇒ sin β = AB ⋅sin α = 7 ⋅ 25 = 5.](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR12x.png)
Stąd
![∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- cos β = 1− sin2 β = 1− 9--= 16-= 4. 25 25 5](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR13x.png)
Teraz skorzystamy ze wzoru
![cos(α + β) = cosα cosβ − sin α sin β](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR14x.png)
na cosinus sumy, żeby obliczyć cosinus kąta .
![cos∡ABC = cos(18 0∘ − (α + β)) = − co s(α+ β) = = − co sα cosβ + sin αsin β = − 24-⋅ 4+ -7-⋅ 3-= 25 5 25 5 21 − 96 75 3 = --------= − ------= − -. 5 ⋅25 5 ⋅25 5](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR16x.png)
Teraz już łatwo – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![AC 2 = BA 2 + BC 2 − 2BA ⋅ BC ⋅co s∡ABC = 3 = 49+ 225 + 2⋅ 7⋅1 5⋅ --= 274 + 12 6 = 400. 5](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR18x.png)
Zatem .
Sposób II
Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅ BC cos α 24 49 = x 2 + 2 25− 30x ⋅--- / ⋅5 25 0 = 5x 2 − 144x + 880.](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR21x.png)
Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 1442 − 4⋅5 ⋅880 = 20736 − 17 600 = 313 6 = 562 x = 144-−-56-= 88-= 8,8 lub x = 1-44+--56 = 200-= 20 . 10 10 1 0 10](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR22x.png)
Jak łatwo się domyślić, jedno z rozwiązań powinno prowadzić do trójkąta ostrokątnego , co jest sprzeczne z założeniem. Rzeczywiście, w przypadku pierwszego rozwiązania
![AB 2 + BC 2 = 49 + 225 = 2 74 > 8,82 = AC 2,](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR24x.png)
co oznacza, że kąt jest ostry. Pozostaje nam więc drugie rozwiązanie i wtedy faktycznie kąt
jest rozwarty:
![AB 2 + BC 2 = 49 + 22 5 = 274 < 4 00 = AC 2.](https://img.zadania.info/zad/8482634/HzadR27x.png)
Odpowiedź: 20