Zadanie nr 8482634

Czworokąt ABCD , w którym |AD | = 18 i |CD | = 26 , jest opisany na okręgu. Kąt ABC tego czworokąta jest rozwarty, a promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 12,5. Obwód czworokąta ABCD jest równy 66. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg, więc sumy jego przeciwległych boków są równe. Zatem

66- AB + CD = AD + BC = 2 = 33 .

Stąd

AB = 33− 26 = 7 BC = 33− 18 = 15.

Spróbujmy jeszcze wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu opisanego na trójkącie ABC . Jeżeli oznaczymy ∡ACB = α , to na mocy twierdzenia sinusów

-AB-- = 2R ⇒ sin α = AB--= 7-. sin α 2R 25

Wiemy, że kąt ABC jest rozwarty, więc jest kątem ostrym. W takim razie

∘ -------- ∘ ---- ∘ ---------- 49 5 76 2 4 co sα = 1− sin 2α = 1− ----= ---- = ---. 625 6 25 2 5

Sposób I

Dokładnie tak samo jak obliczyliśmy funkcje trygonometryczne kąta α = ∡BCA , obliczamy funkcje trygonometryczne kąta β = ∡BAC .

-AB-- -BC-- BC-- 1-5 7-- 3- sin α = sin β ⇒ sin β = AB ⋅sin α = 7 ⋅ 25 = 5.

Stąd

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- cos β = 1− sin2 β = 1− 9--= 16-= 4. 25 25 5

Teraz skorzystamy ze wzoru

cos(α + β) = cosα cosβ − sin α sin β

na cosinus sumy, żeby obliczyć cosinus kąta ABC .

cos∡ABC = cos(18 0∘ − (α + β)) = − co s(α+ β) = = − co sα cosβ + sin αsin β = − 24-⋅ 4+ -7-⋅ 3-= 25 5 25 5 21 − 96 75 3 = --------= − ------= − -. 5 ⋅25 5 ⋅25 5

Teraz już łatwo – piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AC 2 = BA 2 + BC 2 − 2BA ⋅ BC ⋅co s∡ABC = 3 = 49+ 225 + 2⋅ 7⋅1 5⋅ --= 274 + 12 6 = 400. 5

Zatem √ ---- AC = 40 0 = 20 .

Sposób II

Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC ⋅ BC cos α 24 49 = x 2 + 2 25− 30x ⋅--- / ⋅5 25 0 = 5x 2 − 144x + 880.

Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 1442 − 4⋅5 ⋅880 = 20736 − 17 600 = 313 6 = 562 x = 144-−-56-= 88-= 8,8 lub x = 1-44+--56 = 200-= 20 . 10 10 1 0 10

Jak łatwo się domyślić, jedno z rozwiązań powinno prowadzić do trójkąta ostrokątnego ABC , co jest sprzeczne z założeniem. Rzeczywiście, w przypadku pierwszego rozwiązania