/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Pole powierzchni

Zadanie nr 2658696

Cosinus kąta rozwarcia stożka jest równy 7- 25 . Odległość środka kuli wpisanej w ten stożek od jego wierzchołka jest równa 10. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Oznaczmy przez r promień podstawy stożka, l długość jego tworzącej, R promień kuli wpisanej, 2α – kąt rozwarcia stożka. Widać, że z trójkąta CDG łatwo obliczyć R , ale zanim to zrobimy musimy obliczyć funkcje trygonometryczne kąta α . Korzystamy ze wzoru

2 cos2α = 2co s α − 1

Mamy zatem

1 + co s2α 1 + -7 16 cos2 α = ---------- = ----25-= --. 2 2 25

Kąt α jest ostry, więc 4 c osα = 5 i

∘ ---------- ∘ ------- ∘ --- sinα = 1 − cos2 α = 1− 16-= -9-= 3. 25 25 5

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CDG .

DG 3 ---- = sin α ⇒ R = DG = 10⋅ --= 6. CD 5

Teraz patrzymy na trójkąt CSB

3 SB- = tg α = sin-α = 5-= 3- CS co sα 4 4 5 r =SB = 3-⋅(CD + DS ) = 3-⋅16 = 12. 4 4

Stąd

∘ ----------- ∘ ---------- √ ---- l = SB 2 + CS 2 = 1 22 + 1 62 = 400 = 20

i pole powierzchni bocznej jest równe

Pb = πrl = π ⋅12 ⋅20 = 2 40π .

 
Odpowiedź: 240 π

Wersja PDF