/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Stożek/Pole powierzchni

Zadanie nr 4847429

Dwie kule mające średnice 4 cm i 1 cm wpisano w stożek w ten sposób, że większa jest styczna do podstawy i powierzchni bocznej stożka, zaś mniejsza – do powierzchni bocznej stożka i do większej kuli. Oblicz pole powierzchni tego stożka.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.

PIC

Oznaczmy przez h wysokość, a przez r promień podstawy stożka. Z podobieństwa trójkątów CDF i CEG możemy obliczyć h .

F-D- = CD-- GE CE 1 h − 9 -2 = -----2 / ⋅2 2 h − 2 1- 2h-−-9- 2 = h− 2 16 h − 2 = 4h − 18 ⇒ h = --. 3

Promień podstawy i tworzącą stożka możemy obliczyć np. z podobieństwa trójkątów ASC i DF C , ale zanim to zrobimy, obliczmy długość odcinka CF .

CD = 16-− 9-= 32-−-2-7 = 5- 3 2 6 ∘ --6------ ∘ ------------ 2 5 9 2 CF = CD 2 − F D 2 = ---− ---= -. 3 6 36 3

Teraz korzystamy z podobieństwa trójkątów ASC i DF C .

1 SA--= FD-- ⇒ r = SA = 2-⋅ 1-6 = 4 CS CF 23 3 5 CA--= CD-- ⇒ l = CA = 6-⋅4 = 20-. AS FD 1 3 2

Pozostało obliczyć pole powierzchni stożka.

( ) 2 2-0 128π-- Pc = πr + πrl = πr (r+ l) = π ⋅4⋅ 4 + 3 = 3 .

 
Odpowiedź: 128π 2 3 cm

Wersja PDF