Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD są równe... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Prostokąt, 1284651

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Prostokąt

Zadanie nr 1284651

Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta $ABCD$ są równe $A = (5,− 3), C = (− 7,1)$ . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołek $B$ leży na prostej $y = 5$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Skoro trójkąt $ABC$ jest prostokątny, to punkt $B$ musi leżeć na okręgu o średnicy $AC$ . Środek $S$ tego odcinka ma współrzędne

( ) S = 5-−-7, −3-+-1- = (− 1,− 1), 2 2

a promień jest równy

∘ ------- √ --- AS = 62 + 22 = 40.

Szukamy teraz punktów wspólnych okręgu

(x+ 1)2 + (y+ 1)2 = 40

i prostej $y = 5$ . Wstawiamy $y = 5$ do równania okręgu.

2 (x + 1) + 36 = 40 (x + 1)2 = 4 x + 1 = − 2 ∨ x + 1 = 2 x = − 3 ∨ x = 1.

Daje to nam dwa możliwe punkty $B1 = (− 3,5)$ i $B 2 = (1,5)$ . Odpowiadające punkty $D$ wyliczamy korzystając z tego, że $S = (− 1,− 1)$ jest środkiem odcinka $BD$ . Mamy więc $D 1 = (1,− 7)$ i $D 2 = (− 3,− 7)$ .