Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2640905

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki A = (1,7) i  ( 11) C = 1,− 2 prostokąta ABCD . Prosta o równaniu y = 2x − 5 4 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D tego prostokąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Napiszmy najpierw równanie prostej AB (przy oznaczeniach z powyższego rysunku). Szukamy prostej w postaci y = 2x + b (równoległej do danej osi symetrii) i podstawiamy współrzędne punktu A

7 = 2+ b ⇒ b = 5.

Prosta AB ma więc równanie y = 2x + 5 . Napiszemy teraz równanie prostej BC – szukamy prostej w postaci  1 y = − 2x+ b (prostopadłej do danej osi symetrii) i podstawiamy współrzędne punktu C .

 1 1 1 − --- = − --+ b ⇒ b = − 5. 2 2

Prosta BC ma więc równanie  1 y = − 2 x− 5 . Szukamy teraz punktu wspólnego B prostych AB i BC .

{ y = 2x + 5 y = − 1x − 5 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 1 0 = 2x+ -x + 1 0 2 − 10 = 5x 2 x = − 4.

Stąd y = 2x + 5 = − 3 i B = (− 4,− 3) . Współrzędne punktu D moglibyśmy wyznaczyć w podobny sposób – pisząc równania prostych AD i CD , ale my zrobimy to prościej, korzystając z tego, że środek prostokąta

 ( 11) ( ) S = A-+--C-= 1+--1, 7-−-2- = 1, 3- 2 2 2 4

jest środkiem odcinka BD . Mamy zatem

 B + D ( 3) ( 9 ) S = ------- ⇒ D = 2S − B = 2,-- − (− 4,− 3) = 6,-- . 2 2 2

 
Odpowiedź: (− 4,− 3) i ( 6, 9) 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!