Zadanie nr 2640905

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki A = (1,7) i ( 11) C = 1,− 2 prostokąta ABCD . Prosta o równaniu y = 2x − 5 4 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz współrzędne wierzchołków i tego prostokąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Napiszmy najpierw równanie prostej (przy oznaczeniach z powyższego rysunku). Szukamy prostej w postaci y = 2x + b (równoległej do danej osi symetrii) i podstawiamy współrzędne punktu

7 = 2+ b ⇒ b = 5.

Prosta ma więc równanie y = 2x + 5 . Napiszemy teraz równanie prostej – szukamy prostej w postaci 1 y = − 2x+ b (prostopadłej do danej osi symetrii) i podstawiamy współrzędne punktu .

1 1 1 − --- = − --+ b ⇒ b = − 5. 2 2

Prosta ma więc równanie 1 y = − 2 x− 5 . Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i .

{ y = 2x + 5 y = − 1x − 5 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 0 = 2x+ -x + 1 0 2 − 10 = 5x 2 x = − 4.

Stąd y = 2x + 5 = − 3 i B = (− 4,− 3) . Współrzędne punktu moglibyśmy wyznaczyć w podobny sposób – pisząc równania prostych i , ale my zrobimy to prościej, korzystając z tego, że środek prostokąta