Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7523804

Dane są dwa wierzchołki A = (3,8) i B = (− 2,− 2) prostokąta ABCD oraz punkt  ( ) E = 6, 32 leżący na prostej CD . Wyznacz współrzędne wierzchołków C i D tego prostokąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Napiszmy najpierw równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 8 = 3a+ b − 2 = − 2a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

10 = 5a ⇒ a = 2.

Współczynnika b nie obliczamy, bo nie będzie nam potrzebny.

Możemy teraz napisać równanie prostej CD – jest równoległa do AB , więc ma równanie postaci y = 2x + b . Współczynnik b wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu E .

3- 3- 21- 2 = 1 2+ b ⇒ b = 2 − 12 = − 2 .

Prosta CD ma więc równanie y = 2x − 21 2 .

Piszemy teraz równanie prostej AD – jest ona prostopadła do AB , więc ma równanie postaci  1 y = − 2x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

 3 3 19 8 = − --+ b ⇒ b = 8 + --= ---. 2 2 2

Prosta AD ma więc równanie  1 19 y = − 2x + 2 .

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych CD i AD

{ y = 2x − 212 y = − 1x + 19. 2 2

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 1 21 19 0 = 2x+ -x − ---− --- 2 2 2 20 = 5x ⇒ x = 8. 2

Stąd  21 11 y = 2x − 2-= 2- i  ( 11) D = 8 ,2- .

Współrzędne punktu C wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Liczymy dokładnie tak samo jak w przypadku punktu D – szukamy równania prostej BC w postaci y = − 1x + b 2 i podstawiamy w tym równaniu współrzędne punktu B .

− 2 = 1+ b ⇒ b = − 3.

Prosta BC ma więc równanie y = − 1x − 3 2 . Szukamy jej punktu wspólnego C z prostą CD .

{ y = 2x− 21 1 2 y = − 2x− 3.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 2x + 1-x− 21-+ 3 2 2 15- 5- 2 = 2x ⇒ x = 3.

Stąd y = 2x − 21= − 9 2 2 i  ( ) C = 3,− 9 2 .

Sposób II

Wyznaczmy współrzędne środka prostokąta (czyli punktu przecięcia przekątnych) S .

 ( ) ( ) 11- 7- 2S = B + D = (− 2,− 2)+ 8, 2 = 6,2 .

Z drugiej strony ten sam punkt jest środkiem odcinka AC , więc

 ( 7 ) ( 9) 2S = A + C ⇒ C = 2S − A = 6,-- − (3,8) = 3 ,− -- . 2 2

 
Odpowiedź: C = (3,− 9) 2 i  ( ) D = 8, 11 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!