/Szkoła średnia/Równania/Logarytmiczne/Interpretacja geometryczna

Zadanie nr 9744247

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają warunek |log 5x|+ |lo g5y | = 1 .

PIC

Rozwiązanie

Oczywiście musi być x > 0 i y > 0 .

Żeby opuścić wartości bezwzględne musimy wiedzieć jakie są znaki logarytmów. Z tego powodu rozważmy cztery przypadki.

Jeżeli x,y ≥ 1 to logarytmy są nieujemne i mamy warunek

log5x + log 5y = 1 log5xy = log5 5 xy = 5 5 y = --. x

Szkicujemy zatem pierwszy fragment interesującego nas zbioru – jest to fragment hiperboli 5 y = x od punktu (1,5) do (5,1)

Jeżeli x ≥ 1 , ale y < 1 to mamy

log5x − log 5y = 1 x- log5 y = log5 5 x --= 5 y 1- y = 5x .

Rysujemy zatem fragment prostej y = 1x 5 od punktu (1, 1) 5 do punktu (5,1) .

Jeżeli x < 1 , ale y ≥ 1 to mamy

− log x+ lo g y = 1 5 5 lo g y- = log 5 5x 5 y = 5x.

Rysujemy kawałek prostej y = 5x od punktu (1,1) 5 do punktu (1,5) .

Jeżeli wreszcie x,y < 1 to mamy

− log x − log y = 1 5 5 log xy = − 1 = log 1- 5 5 5 1 xy = 5- y = -1-. 5x

Rysujemy teraz fragment hiperboli -1 y = 5x od punktu 1 (5 ,1) do 1 (1,5) .

PIC

Wersja PDF