Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1021234

Przez punkt P krawędzi bocznej AD graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF o krawędzi podstawy równej a poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem α , a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem β (zobacz rysunek).


PIC


Udowodnij, że objętość ostrosłupa BCF EP jest równa

 3 a-sin(α-+-β)- 4 cosα cosβ
Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech K i L będą środkami odpowiednio krawędzi BC i EF oraz oznaczmy AP = x , P D = y .


PIC


Przy tych oznaczeniach podane kąty nachylenia płaszczyzn P BC i PEF do płaszczyzn podstaw graniastosłupa są odpowiednio równe

∡P KA = α i ∡P LD = β.

Z trójkątów prostokątnych PAK i PDL mamy

 √ -- PA a 3 AK--= tg α ⇒ x = PA = AK tg α = -2---⋅tgα √ -- PD--= tg β ⇒ y = PD = DL tgβ = a--3-⋅tg β. DL 2

Objętość ostrosłupa BCF EP jest więc równa

 √ -- 1- 1- 1- a--3- V = 3PBCFE ⋅AK = 3 ⋅ BC ⋅BE ⋅AK = 3 ⋅a⋅(x + y)⋅ 2 = 2√ --( √ -- √ -- ) 3 = a---3- a--3-⋅tgα + a--3-⋅tgβ = a--(tg α + tgβ ) = 6 2 2 4 3 ( ) 3 3 = a-- sin-α-+ sinβ- = a--⋅ sin-αcos-β-+-sinβ-cos-α = a-sin(α-+-β)-. 4 cosα cosβ 4 co sα cosβ 4 cosα cosβ
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!