Zadanie nr 1021234
Przez punkt krawędzi bocznej
graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
o krawędzi podstawy równej
poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem
, a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że objętość ostrosłupa jest równa

Rozwiązanie
Niech i
będą środkami odpowiednio krawędzi
i
oraz oznaczmy
,
.
Przy tych oznaczeniach podane kąty nachylenia płaszczyzn i
do płaszczyzn podstaw graniastosłupa są odpowiednio równe

Z trójkątów prostokątnych i
mamy

Objętość ostrosłupa jest więc równa
