Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2507014

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy a = 8 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze 30 ∘ . Oblicz

  • długość przekątnej ściany bocznej,
  • długość wysokości graniastosłupa,
  • objętość i pole powierzchni całkowitej.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Rysunek specjalnie narysowaliśmy trochę nietypowo (graniastosłup leży na ścianie bocznej) — dzięki temu lepiej widać jak wygląda rzut przekątnej ściany bocznej na sąsiednią ścianę, w szczególności widać, że rzut S wierzchołka C′ to środek krawędzi  ′ ′ A B .

  • Z trójkąta prostokątnego  ′ ASC mamy
     ′ SC---= sin3 0∘ AC√-′ 8-3- -2---= 1- AC ′ 2√ -- AC ′ = 8 3.

    W powyższych rachunkach skorzystaliśmy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym  √- a-3- 2 .  
    Odpowiedź:  √ -- 8 3

  • Wysokość H liczymy z trójkąta prostokatnego AA ′C′
     ∘ ------------------ H = (AC ′)2 − (A′C ′)2 = √ 6-4⋅3-−-64-= √ 64⋅-2 = 8√ 2.

     
    Odpowiedź: 8√ 2-

  • Najpierw liczymy objętość
     √ -- √ -- √ -- V = 64--3-⋅8 2 = 128 6 . 4

    Pole powierzchni

     64√ 3- √ -- √ -- √ -- P = 2 ⋅------+ 3 ⋅8 ⋅8 2 = 3 2 3+ 192 2. 4

    Korzystaliśmy powyżej ze wzoru na pole trójkąta równobocznego  √- a2-3 4 .  
    Odpowiedź: Objętość:  √ -- 128 6 , pole powierzchni:  √ -- √ -- 32 3 + 192 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!