Zadanie nr 2507014

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy a = 8 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze 30 ∘ . Oblicz

długość przekątnej ściany bocznej,
długość wysokości graniastosłupa,
objętość i pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Rysunek specjalnie narysowaliśmy trochę nietypowo (graniastosłup leży na ścianie bocznej) — dzięki temu lepiej widać jak wygląda rzut przekątnej ściany bocznej na sąsiednią ścianę, w szczególności widać, że rzut wierzchołka to środek krawędzi ′ ′ A B .

Z trójkąta prostokątnego mamy
$′ SC---= sin3 0∘ AC√-′ 8-3- -2---= 1- AC ′ 2√ -- AC ′ = 8 3.$

W powyższych rachunkach skorzystaliśmy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym .
Odpowiedź:
Wysokość liczymy z trójkąta prostokatnego
$∘ ------------------ H = (AC ′)2 − (A′C ′)2 = √ 6-4⋅3-−-64-= √ 64⋅-2 = 8√ 2.$

Odpowiedź:
Najpierw liczymy objętość
$√ -- √ -- √ -- V = 64--3-⋅8 2 = 128 6 . 4$

Pole powierzchni

$64√ 3- √ -- √ -- √ -- P = 2 ⋅------+ 3 ⋅8 ⋅8 2 = 3 2 3+ 192 2. 4$

Korzystaliśmy powyżej ze wzoru na pole trójkąta równobocznego .
Odpowiedź: Objętość: , pole powierzchni: