/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 2974425

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz sinus kąta AF B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości CG i FG trójkątów ABC i ABF .


PIC


Podane długości krawędzi graniastosłupa pozwalają obliczyć długości ramion AF = BF trójkąta AF B .

 ∘ ------------ √ -------- √ --- √ --- AF = AC 2 + CF 2 = 1 6+ 36 = 52 = 2 13.

Sposób I

Interesujący nas sin∡AF B możemy obliczyć ze wzoru z sinusem na pole trójkąta ABF . Najpierw jednak obliczmy pole tego trójkąta.

 √ -- √ -- GC = 4--3-= 2 3 ∘2------------ GF = GC 2 + CF 2 = √ 12-+-36-= √ 48-= 4√ 3- 1- 1- √ -- √ -- PABF = 2 ⋅AB ⋅ GF = 2 ⋅4 ⋅4 3 = 8 3.

Korzystamy teraz ze wzoru na pole z sinusem.

 √ -- √ --- √ --- 8 3 = 1-AF ⋅BF ⋅sin ∡AF B = 1-⋅2 13 ⋅2 13 ⋅sin ∡AF B 2√ -- √ -- 2 8 3 4 3 sin∡AF B = -----= -----. 26 13

Sposób II

Znamy długości wszystkich boków trójkąta ABF , więc możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów

 AB 2 = AF 2 + BF 2 − 2AB ⋅BF cos ∡AF B 16 = 52 + 52 − 10 4cos ∡AF B 88 11 cos∡AF B = ---- = --- 10 4 13

Sinus kąta wewnętrznego trójkąta jest zawsze dodatni, więc

 -------- ---- ∘ --------------- ∘ 121 ∘ 48 4√ 3- sin ∡AF B = 1− co s2∡AF B = 1 − ----= ----= ----. 169 169 13

Sposób III

Tak jak w pierwszym sposobie obliczamy długość odcinka GF

 ∘ ---2------2- √ -- GF = GC + CF = 4 3.

Mamy stąd

sin ∡AF B = 2 sin∡AF G ⋅ cos∡AF G = √ -- √ -- AG-- GF-- 2⋅4---3- 4---3 = 2 ⋅ AF ⋅AF = 2⋅ 52 = 1 3 .

 
Odpowiedź:  √ - 4--3 13

Wersja PDF
spinner