/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3026341

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i CF (zobacz rysunek). Punkt P jest środkiem krawędzi CF . Długość krawędzi podstawy AB jest równa 12, a pole trójkąta ABP jest równe 12√ 31- . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości PR i CR trójkątów ABP i ABC .

PIC

Z podanego pola przekroju obliczamy długość odcinka P R .

√ --- 12 31 = 1-⋅12 ⋅P R = 6P R √ 2-- P R = 2 31.

Ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym mamy

√ -- 1 2 3 √ -- CR = ------ = 6 3 . 2

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie P RC obliczamy długość odcinka PC .

∘ ---2------2- √ ---------- √ --- P C = P R − CR = 1 24− 108 = 16 = 4.

Pozostało obliczyć objętość graniastosłupa – korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

√ -- V = 144--3-⋅8 = 28 8√ 3. 4

 
Odpowiedź: √ -- 288 3

Wersja PDF