Zadanie nr 3343080
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach
i
, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość. Wykaż, że jeżeli przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy
jest trapezem, to płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy
tego graniastosłupa pod takim kątem
, że
.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Niech będzie punktem wspólnym danej płaszczyzny przekroju oraz prostej
. Zauważmy, że jeżeli
jest punktem odcinka
, to przekrój jest trójkątem, więc punkt
musi leżeć po drugiej stronie punktu
, niż punkt
. Jest to też oczywiście warunek wystarczający, więc przekrój jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Jeżeli oznaczymy długość każdej krawędzi graniastosłupa przez i
jest środkiem krawędzi
, to
