/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3442895

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem α do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi P . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Przekrój, o którym mowa w zadaniu jest trapezem równoramiennym. Widać, że z podanego kąta nachylenia tego przekroju możemy uzależnić wysokość graniastosłupa H w zależności od długości jego krawędzi podstawy a .

-- -- PQ 1 a √ 3 a √ 3 ----= tg α ⇒ H = P Q = PE tg α = --⋅-----tg α = -----tg α. PE 3 2 6

Skorzystaliśmy ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym oraz z faktu, że środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokości w stosunku 2:1.

Obliczamy teraz wysokość EQ trapezu.

a√-3 √ -- PQ--= sin α ⇒ EQ = P-Q--= -6--tg-α = -a---3-. EQ sin α sin α 6 cos α

Do wyliczenia pola przekroju brakuje nam jeszcze długości podstawy DG . Jak już napisaliśmy, środek ciężkości Q dzieli wysokość C ′F w stosunku 2:1, więc

2 ′ ′ 2 DG = --A B = -a. 3 3

Możemy teraz obliczyć pole trapezu.

a+ 2a √ -- √ --2 P = AB--+-DG-- ⋅EQ = ----3-⋅ -a--3--= -5--3a-- 2 2 6co sα 36 cosα 2 36P-cosα-- a = 5√ 3- .

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

√ -- √ -- a2 3 a 3 Pc = 2PABC + 3PBCC′B′ = 2 ⋅------+ 3 ⋅a⋅ -----tg α = √ -- 4 √ -- 6 a2--3- 36P-co-sα- --3- sin-α-+-cos-α- = 2 (1 + tg α) = 5√ 3- ⋅ 2 ⋅ co sα = = 18P (sin α + cos α). 5

 
Odpowiedź: Pc = 158P(sinα + cosα)

Wersja PDF