Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3659242

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt, w którym wysokość ma długość  √ -- 6 3 . Przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt α taki, że cosα = 7 9 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez a , to z podanej wysokości mamy

 √ -- a---3 √ -- 2 = 6 3 ⇒ a = 12.

Dalszy plan jest następujący: z trójkąta BED wyliczymy długość odcinka DE , a potem z trójkąta AED wyliczymy wysokość graniastosłupa AD .

Sposób I

Aby móc wykorzystać trójkąt BED musimy znać sin α2 . Można go łatwo wyliczyć z podanego cosinusa i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

co sα = 1 − 2 sin2 α 2 2 α- 7- 2- α- 1- 2sin 2 = 1− 9 = 9 ⇒ sin 2 = 3.

Patrzymy teraz na trójkąt BED .

-BE- = sin α-= 1- ⇒ DB = 3BE = 18. DB 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt ABD

 ∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------- √ -- AD = DB 2 − AB 2 = 182 − 122 = 6 3 2 − 2 2 = 6 5.

Liczymy teraz objętość

 √ -- √ -- a2--3- 144--3- √ -- √ --- V = 4 ⋅AD = 4 ⋅6 5 = 2 16 15.

Sposób II

Długość odcinka DB = x mogliśmy też wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD – nie musimy wtedy się bawić w kąty połówkowe.

BD 2 + DC 2 − 2BD ⋅DC cos α = BC 2 7 x2 + x2 − 2x2 ⋅--= 14 4 ( 9) x2 1 + 1− 14- = 1 44 9 4 x2 ⋅--= 144 9 2 9- x = 144 ⋅4 = 36 ⋅9 ⇒ x = 6 ⋅3 = 1 8.

Dalej liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie ze związku cosinusa i tangensa połowy kąta.

 1-−-tg2-α2 cos α = 1 + tg2 α. 2

Wzór ten można znaleźć w tablicach. Mamy wtedy

7 1 − tg2 α --= -------2α- 9 1 + tg22 2 α- 2 α- 7 + 7tg 2 = 9− 9tg 2 √ -- 16 tg 2 α-= 2 ⇒ tg α-= --2. 2 2 4

To nam pozwala łatwo wyliczyć długość odcinka DE .

 √ -- BE--= tg α- ⇒ DE = -6√- = 2√-4-= 12 2. DE 2 -2- 2 4

Dalej liczymy jak w poprzednich sposobach.  
Odpowiedź:  √ --- 216 15

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!