/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3659242

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt, w którym wysokość ma długość  √ -- 6 3 . Przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt α taki, że cosα = 7 9 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


ZINFO-FIGURE


Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez a , to z podanej wysokości podstawy mamy

 √ -- a 3 √ -- ----- = 6 3 ⇒ a = 12. 2

Sposób I

Aby móc wykorzystać trójkąt BED musimy znać sin α 2 . Można go łatwo obliczyć z podanego cosinusa i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

 2 α co sα = 1 − 2 sin -- 2 2sin2 α-= 1− 7-= 2- ⇒ sin α-= 1. 2 9 9 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt BED .

-BE- = sin α-= 1- ⇒ DB = 3BE = 18. DB 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt ABD

 ∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------- √ -- AD = DB 2 − AB 2 = 182 − 122 = 6 3 2 − 2 2 = 6 5.

Liczymy teraz objętość

 √ -- √ -- a2 3 144 3 √ -- √ --- V = --4---⋅AD = --4----⋅6 5 = 2 16 15.

Sposób II

Długość odcinka DB = x mogliśmy też obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD – nie musimy wtedy się bawić w kąty połówkowe.

BD 2 + DC 2 − 2BD ⋅DC cos α = BC 2 7 x2 + x2 − 2x2 ⋅--= 14 4 ( 9) 2 14- x 1 + 1− 9 = 1 44 x2 ⋅ 4-= 144 9 2 9- x = 144 ⋅4 = 36 ⋅9 ⇒ x = 6 ⋅3 = 1 8.

Dalej liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie ze związku cosinusa i tangensa połowy kąta.

 α 1-−-tg2-2 cos α = 1 + tg2 α. 2

Wzór ten można znaleźć w tablicach. Mamy wtedy

 2 α 7-= 1-−-tg-2- 9 1 + tg2 α2 2 α 2 α 7 + 7tg --= 9− 9tg -- 2 2 √ -- 16 tg 2 α-= 2 ⇒ tg α-= --2. 2 2 4

To nam pozwala łatwo obliczyć długość odcinka DE .

BE-- α- -6√- 2√-4- √ -- DE = tg 2 ⇒ DE = -2-= 2 = 12 2. 4

Stąd

 √ -- 12---3 √ -- AE = 2 = 6 3 ∘ ----2------2 √ ---------- √ ---- √ -- AD = DE − AE = 288 − 10 8 = 180 = 6 5

Objętość liczymy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób IV

Niech AD = H będzie wysokością graniastosłupa. W trójkącie prostokątnym ABD mamy wtedy

BD 2 = AD 2 + AB 2 = H 2 + 144.

Stąd

 ∘ ------------ ∘ --------------- ∘ ---------- DE = DB 2 − BE 2 = H 2 + 144 − 36 = H 2 + 1 08.

Zauważmy jeszcze, że

 ∘ ------- √ --- √ -- ∘ ---------- 49 32 4 2 sin α = 1− cos2α = 1 − ---= -----= -----. 81 9 9

Obliczyliśmy sin α , bo chcemy skorzystać ze wzoru na pole z sinusem w trójkącie BCD . Mamy zatem

 BC ⋅DE = 2PBCD = DB ⋅D√C--sinα ∘ ---------- 4 2 9 12 H 2 + 108 = (H 2 + 1 44)⋅----- /⋅ -- ∘ ---------- √ -- 9 4 27 H 2 + 108 = 2(H 2 + 144) / ()2 2 4 2 729H + 78732 = 2H + 576H + 41472 0 = 2H 4 − 153H 2 − 37260 .

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy  2 t = H i mamy

 2 0 = 2t − 15 3t− 37 260 Δ = 23409 + 2980 80 = 321 489) = 567 2 t = 153-−-567-< 0 lub t = 153-+-56-7 = 180 . 4 4

Mamy zatem H 2 = 180 , czyli  √ ---- √ -- H = 180 = 6 5 . Objętość graniastosłupa jest więc równa

 √ -- √ -- a2 3 144 3 √ -- √ --- V = ------⋅H = -------⋅6 5 = 216 15. 4 4

 
Odpowiedź:  √ --- 216 15

Wersja PDF
spinner