/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3659242

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt, w którym wysokość ma długość √ -- 6 3 . Przekątne ścian bocznych wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt α taki, że cosα = 7 9 . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez a , to z podanej wysokości podstawy mamy

√ -- a---3 √ -- 2 = 6 3 ⇒ a = 12.

Sposób I

Aby móc wykorzystać trójkąt BED musimy znać α sin 2 . Można go łatwo obliczyć z podanego cosinusa i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

2 α co sα = 1 − 2 sin -- 2 2sin2 α-= 1− 7-= 2- ⇒ sin α-= 1. 2 9 9 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt BED .

BE α 1 ---- = sin --= -- ⇒ DB = 3BE = 18. DB 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt ABD

∘ ---2------2- ∘ --2-----2- ∘ --2----2 √ -- AD = DB − AB = 18 − 12 = 6 3 − 2 = 6 5.

Liczymy teraz objętość

2√ -- √ -- √ -- √ --- V = a---3-⋅AD = 144--3-⋅6 5 = 2 16 15. 4 4

Sposób II

Długość odcinka DB = x mogliśmy też obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD – nie musimy wtedy się bawić w kąty połówkowe.

BD 2 + DC 2 − 2BD ⋅DC cos α = BC 2 2 2 2 7- x + x − 2x ⋅ 9 = 14 4 ( 14 ) x2 1 + 1− --- = 1 44 9 2 4- x ⋅ 9 = 144 9 x2 = 144 ⋅--= 36 ⋅9 ⇒ x = 6 ⋅3 = 1 8. 4

Dalej liczymy jak poprzednio.

Sposób III

Jeszcze inny sposób to skorzystanie ze związku cosinusa i tangensa połowy kąta.

2 α cos α = 1-−-tg--2. 1 + tg2 α2

Wzór ten można znaleźć w tablicach. Mamy wtedy

7- 1-−-tg2 α2 9 = 1 + tg2 α 2 7 + 7tg2 α-= 9− 9tg2 α- 2 2 √ -- 2 α α 2 16 tg --= 2 ⇒ tg --= ---. 2 2 4

To nam pozwala łatwo obliczyć długość odcinka DE .

BE-- α- -6- 2-4- √ -- DE = tg 2 ⇒ DE = √2-= √ --= 12 2. 4 2

Stąd

√ -- AE = 12---3 = 6√ 3- 2 ∘ ----2------2 √ ---------- √ ---- √ -- AD = DE − AE = 288 − 10 8 = 180 = 6 5

Objętość liczymy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób IV

Niech AD = H będzie wysokością graniastosłupa. W trójkącie prostokątnym ABD mamy wtedy

BD 2 = AD 2 + AB 2 = H 2 + 144.

Stąd

∘ ------------ ∘ --------------- ∘ ---------- DE = DB 2 − BE 2 = H 2 + 144 − 36 = H 2 + 1 08.

Zauważmy jeszcze, że

∘ ------- √ --- √ -- ∘ ---------- 49 32 4 2 sin α = 1− cos2α = 1 − ---= -----= -----. 81 9 9

Obliczyliśmy sin α , bo chcemy skorzystać ze wzoru na pole z sinusem w trójkącie BCD . Mamy zatem

BC ⋅DE = 2P = DB ⋅DC sinα BCD √ -- ∘ --2------- 2 4--2- 9- 12 H + 108 = (H + 1 44)⋅ 9 /⋅ 4 ∘ ---------- √ -- 2 2 27 H 2 + 108 = 2(H + 144) / () 2 4 2 729H + 78732 = 2H + 576H + 41472 0 = 2H 4 − 153H 2 − 37260 .

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawiamy t = H 2 i mamy

0 = 2t2 − 15 3t− 37 260 Δ = 23409 + 2980 80 = 321 489) = 567 2 153 − 567 153 + 56 7 t = ----------< 0 lub t = ---------- = 180 . 4 4

Mamy zatem 2 H = 180 , czyli √ ---- √ -- H = 180 = 6 5 . Objętość graniastosłupa jest więc równa

2√ -- √ -- √ -- √ --- V = a---3-⋅H = 144--3-⋅6 5 = 216 15. 4 4

 
Odpowiedź: √ --- 216 15

Wersja PDF