/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 5344709

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąt AF B jest równoramienny więc jego wysokość FG opuszczona z wierzchołka F dzieli krawędź AB na połowy.

PIC

Z podanego pola trójkąta ABF możemy obliczyć długość odcinka F G .

5 2 = 1AB ⋅F G 2 5 2 = 4FG ⇒ F G = 13.

Sposób I

Odcinek CG to wysokość trójkąta równobocznego w podstawie graniastosłupa, czyli

√ -- a 3 √ -- CG = -----= 4 3. 2

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie FGC .

∘ ------------ 2 2 √ --------- √ ---- FC = F G − CG = 169 − 48 = 121 = 11.

Pozostało obliczyć objętość graniastosłupa.

2√ -- √ -- V = Pp ⋅F C = a---3-⋅11 = 17 6 3. 4

Sposób II

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AGF .

AF 2 = AG 2 + FG 2 = 16 + 169 = 185.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny ACF .

∘ ------------ ---- FC = AF 2 − AC 2 = √ 185-−-64-= √ 121 = 11 .

Pozostało obliczyć objętość graniastosłupa.

√ -- a2 3 √ -- V = Pp ⋅F C = ------⋅11 = 17 6 3. 4

 
Odpowiedź: √ -- 176 3

Wersja PDF