Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5763169

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa  √ -- 9 3 , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zanim spróbujemy dokładnie zrozumieć co mamy obliczyć, popatrzmy co mamy dane:

{ √ -- 2√ - 9 3 = V = a--3 ⋅H ⇒ 9 = a ⋅aH 4 4 36 = Pb = 3aH ⇒ 1 2 = aH .

Podstawiając aH z drugiego równania do pierwszego mamy

 a 9 = --⋅12 = 3a ⇒ a = 3. 4

Zatem H = 12 = 4 a .

Teraz popatrzmy czego szukamy. Aby wiedzieć jaki jest kąt między przekątną BF , a ścianą ABED musimy znaleźć rzut tej przekątnej na tę ścianę. Rzut ten będzie odcinkiem, którego jednym końcem będzie B (bo przy rzucie stoi w miejscu), a drugi koniec będzie rzutem punktu F . Zauważmy, że jeżeli P jest środkiem krawędzi DE to odcinek FP jest prostopadły do płaszczyzny ABED . To oznacza, że rzutem BF na tę płaszczyznę jest odcinek BP i interesujący nas kąt to ∡P BF .

Trójkąt P BF jest prostokątny (bo FP jest prostopadły do płaszczyzny ABED , więc w szczególności do BP ) zatem

 √ - PF a--3 3√ 3- 3√ 3- sin ∡P BF = ---= √----2---- = -√--------= ----- BF H 2 + a2 2 16 + 9 10

(korzystaliśmy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym oraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCF ).  
Odpowiedź: 3√-3 10

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!