/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 6809237

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i CF (zobacz rysunek). Przez krawędź AB poprowadzono płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ . Płaszczyzna ta przecina krawędź CF w punkcie P . Oblicz pole trójkąta ABP jeżeli objętość ostrosłupa ABCP jest równa √ -- 9 3 .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokości PR i CR trójkątów ABP i ABC oraz oznaczmy krawędź podstawy przez a .

PIC

W trójkącie prostokątnym P RC mamy

√ -- √ -- √ -- PC--= tg 30∘ = --3- ⇒ PC = --3-⋅ a--3-= a. RC 3 3 2 2

Korzystamy teraz z podanej objętości ostrosłupa ABCP .

2√ -- 3√ -- √ -- 1- 1- a----3 a- a---3- 2√4-- 9 3 = 3PABC ⋅PC = 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 / ⋅ 3 3 3 a = 2 16 = 6 ⇒ a = 6.

Patrzymy jeszcze raz na trójkąt PRC – obliczamy z niego wysokość PR trójkąta ABP .

P-C-= sin 30∘ = 1- ⇒ P R = 2PC = a = 6. P R 2

Pole trójkąta ABP jest więc równe

PABP = 1-AB ⋅ PR = 1-⋅6 ⋅6 = 18. 2 2

 
Odpowiedź: 18

Wersja PDF